Chuyên đề sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức Newtơn

Chuyên đề sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức Newtơn bày trình bày công thức trong nhị thức Newton, các ví dụ và bài tập kèm hướng dẫn giải giúp các em học tốt phần nhị thức Newton để chuẩn bị cho các kì thi ĐH, CĐ. | Chuyªn ®Ò Sö dông ®¹o hµm tÝnh tæng cña khai triÓn nhÞ thøc newt¬n 1. NhËn d¹ng: * Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng ®¹o hµm cÊp 1. (®¹o hµm 1 lÇn) * Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè lµ tÝch cña hai sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp th× ta dïng ®¹o hµm cÊp 2; hoÆc mÊt vµ hoÆc vµ 2. C¸c b­íc gi¶i * B­íc 1: Chon khai triÓn (b + x)n khi mçi sè h¹ng trong tæng cã d¹ng k ak-1bn-k * B­íc 2: Chän ®¹o hµm cÊp 1, cÊp 2. * B­íc 3: Chän x = a kÕt qu¶. 3. Bµi tËp. Bµi 1. TÝnh tæng: S = + + + + - 1 HD: (1 + x)n = C + xC + x2C + x3C + + xnC n(1 + x)n – 1 = C + 2x1C + 3x2C + + nxn - 1C Thay x = 2 ta ®­îc S = – 1 Bµi 2. TÝnh tæng: S = + (n - 1)31 + (n - 2).32 + + - 1 HD Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 3 ta ®­îc S = n4n – 1 Bµi 3. Chøng minh r»ng: 1 + 2 + 3 + + n = n2n – 1 HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 1 Bµi 4. Chøng minh r»ng: HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = Bµi 5. T×m n Z+ tho¶ m·n: - + - + (2n + 1).22n = 2005 (§Ò §H + C§ - A - 2005) HD: Khai triÓn (-1 + x)2n + 1, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt hai vÕ, thay x = 2 ta ®­îc 2005 = 2n + 1 Bµi 6. T×m sè nguyªn d­¬ng n tho¶ m·n: 2006 + - + - + - 1 = 0 HD: Sö dông khai triÓn (1 + x)2n Bµi 7. TÝnh tæng: S = + + + + (n-1)n HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 1, ta ®­îc S = n(n-1)2n - 2 Bµi 8. S = - + - + HD: Khai triÓn (1 - x)200, lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 3, ta ®­îc S = Bµi 9. TÝnh tæng S = 12C + 22C + 32C + 42C + + n2C HD: Ta cã: S = 1(1+0)C + 2(1+1)C + 3(2+1)C + 4(3+1)C + + n(n-1+1)C = = [ + + + + n(n-1)C ] + [1C + 2C + 3C + 4C + + nC ] Bµi 10. TÝnh tæng S = 2C + 3C + 4C + + 101C HD: Khai triÓn x(1 + x)100, tÝnh ®¹o hµm vµ thay x = 1. Bµi 11. TÝnh tæng: S = + + + + 3n(n + 1)C HD: Khai triÓn x(1 + x)n , tÝnh ®¹o hµm 2 vÕ vµ thay x = 3 Bµi 12. TÝnh tæng; S = + + + + HD: S = + + + + = (2 - 1).21C + (3 - 1).22C + (4 - 1).23C + + (n + 1- 1).2nC = ( + + + + (n+1).2nC ) - (21C + 22C + 23C + + 2nC ) Bµi 13. Chøng minh r»ng: + + + + = 50(399 + 1) HD: Khai triÓn: (1 + x)100 vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)100 vµ lÊy ®¹o hµm Céng vÕ víi vÕ vµ thay x = 2 Bµi 14. TÝnh tæng: S = + + + + (2n - 1)C HD: Khai triÓn: (1 + x)2n vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)2n vµ lÊy ®¹o hµm Trõ vÕ víi vÕ vµ thay x = 1 Bµi 15. Chøng minh r»ng: 2C + 4C + 6C + + 2nC = (2n + 1).22n – 1 HD: Khai triÓn: (1 + x)2n+1 vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)2n+1 vµ lÊy ®¹o hµm Céng vÕ víi vÕ vµ thay x = 1 4. Gi¶i ®Ò thi: Bµi 15. Chøng minh r»ng: C .3n – 1 + .3n – 2 + .3n – 3 + + nC = – 1, trong ®ã n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n hay b»ng 1. (§H LuËt HCM – A - 2001) HD: Khai triÓn (3 + x)n, lÊy ®¹o hµm vµ thay x = 1 Bµi 16. T×m sè nguyªn d­¬ng n biÕt: (Tµi liÖu «n thi ®¹i häc) HD: Khai triÓn (1 - x)2n + 1, lÊy ®¹o hµm vµ thay x = 2 Bµi 17. TÝnh tæng: . Bµi 18. TÝnh tæng: Bµi 19. H·y khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n (1 - x)2n, víi n lµ sè nguyªn d­¬ng. Tõ ®ã chøng minh r»ng: 1.