Bài tập Tích phân mặt trình bày các bài tập về tích phân mặt và lời giải của chúng, giúp học viên áp dụng kiến thức lý thuyết được học, nắm vững bài học tốt hơn. | Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính các tp sau S là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S là phía dưới nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1 S là phía S là phía ngoài vật thể gh bởi 0 ≤z ≤1-x2-y2 Bài tập tích phân mặt S là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+” Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1 Bài tập tích phân mặt Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặt loại 1 bằng cách dùng CT , với pháp vecto đơn vị Từ , Suy ra: Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 Vi phân Bài tập tích phân mặt Vậy: x=rcosφ y=rsinφ =16π Bài tập tích phân mặt Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S1: Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía trên mặt paraboloid z=1-x2-y2 Và pháp vecto đơn vị của mặt S2: S là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2 Bài tập tích phân mặt S là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2 Bài tập tích phân mặt Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách chuyển về tp mặt loại 1 vì S1 là mặt phẳng có Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 Pháp vecto: → cosγ>0 Suy ra: ↔ Pháp vecto: Bài tập tích phân mặt Tp theo dxdz: Pt mặt: y2=z+x2-1 Pháp vecto: Suy ra: cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2 nửa ứng với y dương và y âm. Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 của 2 nửa này như nhau Do đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là: I222=0 Vậy: Bài tập tích phân mặt S là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2 S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh hơn CT Gauss: Ta có: Bài tập tích phân mặt S là phía dưới nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Bài tập tích phân mặt Nhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau. Bài tập tích phân mặt Từ đó ta được: Còn lại tp thứ ba: Pt mặt S (z dương): Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0 Vậy: S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Bài tập tích phân mặt Ta viết lại pt mặt S: S là phía ngoài nón tức là pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nên S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Bài tập tích phân mặt Bài tập tích phân mặt Đưa tp I4 về tp mặt loại 1 với | Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính các tp sau S là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S là phía dưới nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1 S là phía S là phía ngoài vật thể gh bởi 0 ≤z ≤1-x2-y2 Bài tập tích phân mặt S là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+” Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1 Bài tập tích phân mặt Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặt loại 1 bằng cách dùng CT , với pháp vecto đơn vị Từ , Suy ra: Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 Vi phân Bài tập tích phân mặt Vậy: x=rcosφ y=rsinφ =16π Bài tập tích phân mặt Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S1: Mặt S gồm 2
