Bài giảng Giải tích 2: Chương trình bày tích phân bội ba – định nghĩa và cách tính bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể giải thích các nội dung trên. | §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Lập tổng tích phân Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Vậy: Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 1. 2. 3. 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì 5. Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính D x=0 y=0 z=4 z=x2+y2 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có . | §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Lập tổng tích phân Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Vậy: Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 1. 2. 3. 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì 5. Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 6. Định lý giá trị trung .
