Bài giảng Giải tích 2: Chương - Chuỗi lũy thừa có nội dung trình bày về chuỗi lũy thừa - miền hội tụ, chuỗi lũy thừa – bán kính hội tụ, miền hội tụ; chuỗi lũy thừa – tính tổng chuỗi, chuỗi Taylor - Maclaurint. | §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). a0, a1, a2, là hằng số Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Miền HT của chuỗi lũy thừa là tập D nếu chuỗi số HT Ví dụ: Chuỗi Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|1: Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) Cho §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa HT tại x=x0, Nếu |x||x1| Bán kính hội tụ (BKHT): HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗi Hệ quả: Nếu chuỗi PK tại x1 PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa Đặt: Thì BKHT là Đặt: Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 2. Khi x=2: là chuỗi số dương HT Khi x=-2: là chuỗi HTTĐ Vậy MHT [-2,2] §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: 1. Chuỗi lũy thừa với → R=5 Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht BKHT R=5, MHT là (-5,5) Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK | §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). a0, a1, a2, là hằng số Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Miền HT của chuỗi lũy thừa là tập D nếu chuỗi số HT Ví dụ: Chuỗi Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|1: Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) Cho §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa HT tại x=x0, Nếu |x|<|x0| thì chuỗi HT Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh. Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây. tức là chuỗi số HT. Theo đkccsht ta được Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: .
