Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số sau đây nhằm giới thiệu đến các em học sinh phổ thông phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số. Mỗi bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng nắm được phương pháp giải. | GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ ìx 3 - y 3 = y - x (1) ï ï Bài ❶: Giải hệ phương trình í 2 ïx + xy + y 2 = 1 (2) ï î Lời giải: Ta có : (1) Û x 3 + x = y 3 + y Û f (x ) = f (y ) với + f (t ) = t 3 + t f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 "t Î ¡ nên hàm số f (t ) đồng biến trên ¡ Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được phương trình: x 2 + x 2 + x 2 = 12 Û x = ±2 Với x = ±2 Þ y = ±2 Vậy hệ có 2 nghiệm là (x ; y ) = (2;2); (-2; -2) ìx 3 - y 3 = 3x - 3y (1) ï ï Bài ❷: Giải hệ phương trình í 2 ïx + y 4 = 1 (2) ï î Lời giải: Ta có : Û x 3 - 3x - y 3 - 3y Û f (x ) = f (y ) với f (t ) = t 3 - 3t Từ phương trình (2) : x 2 + y 4 = 1 Þ| x |,| y |£ 1 Þ t £ 1 Khi đó f '(t ) = 3t 2 - 3 £ 0"t £ 1 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Hàm số f (t ) nghịch biến trên (-¥;1) . Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được: x2 + x4 = 1 Û x4 + x2 -1 = 0 Û x2 = -1 + 5 -1 + 5 Ûx =± 2 2 Với x = ± -1 + 5 Þ y = ± -1 + 5 2 2 æ öæ ö ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ÷; ç÷. ÷ç ÷ ; ;Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ) = ç ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ 2 2 2 2 ç ÷è ÷ è ø ø ìx 3 + x - 2 = y 3 + 3y 2 + 4y (1) ï ï Bài ❸: Giải hệ phương trình í 5 ïx + y 3 + 1 = 0 (2) ï î Lời giải: (1) Û x 3 + x = y 3 + 3y 2 + 4y + 2 Û x 3 + x = (y + 1)3 + (y + 1) Û f (x ) = f (y + 1) với f (t ) = t 3 + t f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0"t Î ¡ . Nên (1) Û x = y + 1 Û y = x - 1 thay vào (2) ta được: x 5 + (x - 1)3 + 1 = 0 Û x (x 4 + x 2 - 3x + 3) = 0 é x =0 Û êê 4 Û x + x 2 - 3x + 3 = 0 êë Với x = 0 Þ y = -1 éx = 0 ê 2 ê 3ö ê 4 æ ÷ +3=0 ç êx + çx - ÷ ÷ ç ÷ 2ø 4 è êë Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0; -1). ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ìx 3 - 3x 2 + 2 = y 3 + 3y 2 (1) ï ï Bài ❹: Giải hệ phương trình ï í ï3
