Bất phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tiến

Bất phương trình vô tỷ của tác giả Nguyễn Minh Tiến sau đây gồm các bài toán và dạng toán về bất phương trình vô tỷ, cách giải và hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các em học sinh học tập và ôn thi hiệu quả. | Maths287 B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Part 1 : Các bài toán √ √ Bài 1 : Gi i b t phương trình (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) L i gi i tham kh o : √ √ (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) ⇔ (x + 1) 2 + ⇔ (x + 1) 2 + √ √ √ x2 − 2x + 5 + 2x 2 x2 + 1 − x2 − 2x + 5 ≤ 0 √ 2x (4x2 + 4 − x2 + 2x − 5) √ x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (x + 1) (3x − 1) √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (3x − 1) √ ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ √ 4 x2 + 1 + 2 x2 − 2x + 5 + 2 (x2 + 1) (x2 − 2x + 5) + (7x2 − 4x + 5) √ √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 4 4 31 31 Có 7x2 − 4x + 5 = 7 x2 − x + + ≥ nên bi u th c trong ngo c luôn > 0. 7 49 7 7 Do đó b t phương trình ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (−∞; −1] Bài 2 : Gi i b t phương trình L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ bpt ⇔ ⇔√ 2 3 √ x + 2 + x2 − x + 2 ≤ √ 3x − 2 √ √ x + 2 − 3x − 2 + x2 − x − 2 ≤ 0 −2 (x − 2) √ + (x − 2) (x + 1) ≤ 0 x + 2 + 3x − 2 −2 √ +x+1 ≤0 x + 2 + 3x − 2 ⇔ (x − 2) √ —————— Nguy n Minh Ti n —————– 1 Maths287 B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T 1 3 √ +√ −2 3x − 2 x+2 √ √ + x + 1 ⇒ f (x) = √ +1>0 Xét f (x) = √ x + 2 + 3x − 2 x + 2 + 3x − 2 ⇒ f (x) ≥ f 2 > 0 3 Do đó b t phương trình ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = 2 ;2 3 √ √ Bài 3 : Gi i b t phương trình 4 x + 1 + 2 2x + 3 ≤ (x − 1) (x2 − 2) L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ −1 Nh n th y x = - 1 là m t nghi m c a b t phương trình Xét x > - 1 ta có b t phương trình tương đương v i √ √ 4 x + 1 − 2 + 2 2x + 3 − 3 ≤ x3 − x2 − 2x − 12 4 (x − 3) 4 (x − 3) +√ ≤ (x − 3) (x2 + 2x + 4) ⇔√ x+1+2 2x + 3 + 3 4 4 ⇔ (x − 3) √ +√ − (x + 1)2 − 3 x+1+2 2x + 3 + 3 Vì x > - 1 nên Do đó √ √ x + 1 > 0 và √ 2x + 3 > 1 ⇒ √ ≤0 4 4 +√ <3 x+1+2 2x + 3 + 3 4 4 +√ − (x + 1)2 − 3 < 0 x+1+2 2x + 3 + 3 Suy ra b t phương trình ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = {1} ∪ [3; +∞) Bài 4 : Gi i b t phương trình x (x + 2) √ ≥1 (x + 1)3 − x L i gi i tham .