"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội. | Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy s Các khái ni m cơ b n Dãy vô h n {un }n = 0 1 là m t dãy các s u0 , u1 , u2 , tuân theo quy lu t nào ñó. ∞ Cùng m t dãy s có th ñư c xác ñ nh b i nhi u cách, trong bài toán v dãy s , nhi u khi ph i ñưa ñư c dãy v d ng mà ta mong mu n ñ gi i quy t yêu c u ñ t ra. ñây ta xét các cách xác ñ nh ph bi n là: Xác ñ nh b ng công th c s h ng t ng quát un c a dãy Thí d : Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i un = 2n + 1 là dãy s t nhiên l . - Xác ñ nh b ng tính quy n p (ch y u là b ng công th c truy h i) Thí d : + Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i u0 = 30 , un+1 = 30 + un . 2 + Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i u0 = u1 = 1 , un + 2 = un un +1 . - Xác ñ nh thông qua các phép toán c a các dãy khác 2 Thí d : Cho 2 dãy {un } : u1 = 1 , un+1 = 2011un + un . Dãy {vn } ñư c xác ñ nh b i: vn = u0 u1 u2 u + + + + n . u1 u2 u3 un +1 C p s c ng Dãy s {un } ñư c g i là c p s c ng v i công sai d ≠ 0 , n u un +1 = un + d . Tính ch t: un = u0 + nd , un +1 + un −1 = 2un . C p s nhân Dãy s {un } ñư c g i là c p s nhân v i công sai q ∉ {0;1} , n u un+1 = un q . 2 Tính ch t: un = u0 q n , un +1un −1 = un , ∑ uk = k =0 n 1 − q n +1 . 1− q 2 Dãy ñơn ñi u - Dãy ñơn ñi u tăng (tăng ng t) n u un +1 > un , ∀n ∈ ℕ . 1 2 Trong tài li u này, n u nh c ñ n dãy s {u } mà không chú thích gì thêm, ta hi n u ñó là dãy vô h n. N u u n +1 > u n , ∀n ≥ n0 , thì ta v n có th nói dãy {u n } ñơn ñi u tăng, nhưng nên nói dãy ñơn ñi u tăng, ho c dãy ñơn ñi u {u n } tăng v i n ≥ n0 . {un }n =n ∞ 0 1 Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy ñơn ñi u không gi m n u un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ . Dãy ñơn ñi u gi m (gi m ng t) n u un +1 0 , ∃n0 ∈ ℕ : n > n0 ⇒ un − L < ε 2. Phép c ng tr , nhân, chia gi i h n Gi s t n t i lim un = a ; lim vn = b thì: n →∞ n →∞ n →∞ lim ( un + vn ) = a + b lim ( un vn ) = ab n →∞ un a = n →∞ v b n lim (b ≠ 0 ) 3. So sánh hai
