"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội. | bai 21 Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Hàm kh vi ð nh nghĩa ð o hàm c a hàm s f ( x) t i ñi m x và ký hi u là f ′ ( x ) là gi i h n: f ′ ( x ) = lim ∆x →0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x n u gi i h n ñó t n t i. N u f ′ ( x ) t n t i, thì ta nói hàm y = f ( x ) kh vi t i x . Bài toán 1. Tìm t t c các hàm f : ℝ → ℝ th a mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ ( x1 − x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ ℝ . 2 L i gi i. Thay x1 = x + ∆x và x2 = x vào bi u th c ñã cho ñư c: f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≤ ( ∆x ) . 2 Suy ra f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≤ ∆x , do ñó lim = 0. ∆x → 0 ∆x ∆x Theo ñ nh nghĩa, f ( x) kh vi t i m i ñi m x ∈ ℝ , và f ′( x ) = 0 . V y f ( x) là hàm h ng. Bài toán 2. Cho hàm s α 1 x sin f ( x) = x 0 x≠0 x=0 f kh vi trên ℝ . v i α là h ng s dương. Tìm các giá tr c a α ñ L i gi i. D th y f liên t c t i m i ñi m x ≠ 0 . (KSTN 2005) 1 Xét tính liên t c t i ñi m x = 0 : 0 ≤ xα sin ≤ xα , mà lim xα = 0 ∀α > 0 , suy ra x→0 x 1 lim f ( x) = lim xα sin = 0 = f (0) . x→0 x →0 x Do ñó, f liên t c trên ℝ . V i m i α , f kh vi t i m i ñi m x ≠ 0 . C n tìm α ñ f ( x ) − f (0) 1 h n f ′(0) = lim = lim xα −1 sin t n t i. x →0 x →0 x x f kh vi t i x = 0 , t c là gi i 1 Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 1 Gi i h n trên t n t i v i m i α > 1 : lim xα −1 sin = 0 . x →0 x Ta ch ng minh nó không t n t i v i α ≤ 1 . 1 Th t v y, gi s lim xα −1 sin = lim t 1−α sin t = M , x→0 x t →∞ t c là v i m i ε > 0 , ∃t0 : t > t0 ⇒ t 1−α sin t − M 0 , suy ra M = 0 . Khi ñó, ∀ε > 0 , ∃t0 : t > t0 ⇒ t 1−α sin t ε , khi ñó t1−α sin t > ε , mâu thu n. V y α >1. ð o hàm và s bi n thiên c a hàm s D ng bài ch ng minh hàm tăng gi m b ng cách tính ñ o hàm Bài toán 3. Kh o sát s bi n thiên c a hàm s f ( x) ñư c xác ñ nh như sau: x x+ 1 f ( x) = 1 + e x 0 L i gi i. lim f ( x) = 0 = f (0) , suy ra f liên