"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội. | M t s ñ luy n t p ð s 1 Câu I. 1) 1 ln (1 + x 2 ) − 2011 . 2 1 Ch ng minh r ng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghi m th c duy nh t. 2 Cho dãy s th c {un } ñư c xác ñ nh như sau: Cho hàm s f ( x) = 2) u1 = a ∈ ℝ , un +1 = Ch ng minh r ng dãy {un } 1 ln (1 + un 2 ) − 2011 , v i n ≥ 1 . 2 h it . Câu II. Cho các s th c dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghi m th c x > 0 : 1 1 1 2 + + = . a+ x b+ x c+ x x Câu III. 1) Cho hàm s f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn: f ( x) − f ( y ) 0 . Hàm f ( x) kh tích trên ño n [ 0;1] và ∫ f ( x)dx > 0 . Ch 0 1 ng minh r ng t n t i ño n [ a, b] ⊂ [ 0;1] Câu V. mà trên ñó f ( x) > 0 . Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax và By sao cho t ng AC + BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí c a các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t. *** 1 ð s 2 Câu I. Cho dãy s {un } ñư 2 c xác ñ nh b i u1 = 1 , un+1 = 2011un + un . Tìm gi i h n: u u u lim 1 + 2 + + n . n →∞ u un +1 2 u3 Câu II. 1) Gi s hàm f ( x) xác ñ nh và liên t c trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ . Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 . 2) Tìm t t c các hàm liên t c th a mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ . Câu III. 1) 2) So sánh hai s 20122011 2012 và 20112012 2011 . Gi s hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm kh vi liên t c, và v i m i x, y ∈ ( a, b ) , t n t i f ( y ) − f ( x) = f ′( z ) . Ch ng minh r ng ho c f l i nghiêm ng t y−x ho c f lõm nghiêm ng t trong ( a, b ) . duy nh t z mà Câu IV. Trong phòng có 6 ngư i, c 3 ngư i thì có ít nh t 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 3 ngư i ñôi m t quen nhau. Câu V. Cho s nguyên dương n . Ch ng minh b t
