Tài liệu học môn Toán | 6. Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương 6. TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. CÁC ĐỊNH NGHĨA x 1. Phân thức hữu tỉ - 7-4 với p x ơ x là các đa thức với các hệ sổ thực ỡtv K 7 p x 2. Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ 7-7-4 với degP x degQ x Q x 3. Phân thức đơn giản Là các phân thức có 1 trong 4 dạng sau A Bx 4- c Bx c . 2 7 _ n . _ atA -7- s .2 . . 7 à p2-4q 0 keN X a x-àị X px q x2 px q 4. Định lý tổng quát về phân tích đa thức Mọi đa thức ộ x ớ với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử gồm các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức zđ 0 tức là ta có Q x A x- a Ỵ . x - ak Ỵ x2 PịX q . x2 pntx qm trong đó A 0 alt ak là các nghiệm thực phân biệt của Ổ x vàPi qi là các sổ thực thoả mãn 4 p2 - 4qị 0 deg Q-r . rk 2 sj 4-. sm II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TÌ 1. Đặt vấn đề Xét r dx với P x Q x là các đa thức với hệ số thực. Nếu degP x degQ x thì thực hiện phép chia đa thức ta có p x X p x . . - G x 4- 7 7 degP degQ ỌM q x p xì Píx -dx- Gvc dx -7-7-7dx ô x J Jô x . A _ fp x Vrcó thể de dàng tính được ơ x ứíx nên việc tính r - - dx được đưa về tính p x 2 .v dx với deg p x degQ x 73 Chương I Các kĩ thuật tính tích phân - Trần Phương 2. Phương pháp chung tính I fP x 4 X 7x ó degP x degQịxịi Định lý Nếu Q x -Aịpc-a . x-akỴk x2 pIx qIỴ . x2 pmx qmỴ thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự đều biếu diên được dưới dạng p x _ AJk A2k Ark k 2 v x-r z x - at Ỵ x-ak x-ak 2 x-ak Để bạn đọc dễ hiểu ta xét 4 trường hợp đặc biệt với các biểu diễn tương ứng . Nếu ộ x x-í . x-ữz_ x-ứz x-az 7 . x-a thì giả sử . Nếu Ế x x-í . x-ơz_ x-ữz Ấr x-a . x-a thì giả sử p x x Al 4- r BI - 4- . 4-- 4- -----Ị X - ữy X - ai_I X - dị x-a x-an . Ế x x - . x - Í7Z_7 x2 px q x - ơz 7 . x - an p2 -4q Ò p x _ 4 4-1 t Bx C 4 I __ 4 ----- 4- 4- - 4- -------4- 4- 4- - Vx Q x x-ax X ai-1 X px q x-aM x an . Q x x-a1 .ịx-ai_1 x2 px q k x-al l .ịx-an p2 -4q Ò p x 2 x 4 X
