Để phục vụ cho các bạn sinh viên có ý định dự thi cao học và ôn tập dự thi sau đại học. xin giới thiệu tài liệu sưu tầm 14 Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Giải tích (2000-2007) cho các bạn cùng tham khảo. Chúc bạn thi tốt. | §¹i häc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ cë: Gi¶i tÝch Thêi gian lµm bµi: 180 phót C©u I. 1. Chøng minh r»ng hµm sè mét biÕn sè liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] th× liªn tôc ®Òu trªn ®ã. √ 1 − cos x . H·y xÐt sù liªn tôc ®Òu cña nã trªn c¸c tËp d-íi 2. Cho hµm sè f (x) = x ®©y: (a) Trªn (0, 1). (b) Trªn (−1, 0). (c) Trªn (−1, 0) ∪ (0, 1). C©u II. 1. Chøng minh r»ng nÕu mét d·y sè ®¬n ®iÖu cã mét d·y sè con héi tô th× nã còng lµ mét d·y héi tô. 2. Chøng tá r»ng d·y sè {xn} víi 1 1 xn = 1 + + · · · + − ln(n) , 2 n lµ mét d·y héi tô. C©u III. 1. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn n»m trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy ®-îc giíi h¹n bëi trôc hoµnh vµ mét nhÞp cycloid x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) 2. XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n suy réng +∞ n≥1 (0 ≤ t 0). (x + 1)α sin x (x − 1)β dx, 0 trong ®ã α, β lµ c¸c tham sè. C©u IV. 1. Cho chuçi hµm +∞ n=1 enx 1 + n2 . (a) T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm. (b) XÐt tÝnh kh¶ vi cña tæng chuçi hµm trong miÒn héi tô. 2. Cho f (x) lµ hµm liªn tôc trªn (−∞, +∞). Víi n nguyªn d-¬ng ®Æt 1 1 2 n fn(x) = f (x + ) + f (x + ) + · · · + f (x + ) . n n n n Chøng minh r»ng d·y hµm {f n(x)} héi tô ®Òu trªn mäi ®o¹n h÷u h¹n bÊt kú. §¹i häc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ cë: Gi¶i tÝch Thêi gian lµm bµi: 180 phót C©u I. 1. Ph¸t biÓu vµ chøng minh nguyªn lý Cauchy vÒ sù héi tô cña d·y sè (cßn gäi lµ tiªu chuÈn Cauchy). 2. XÐt sù héi tô cña d·y sè {xn} trong ®ã xn = sin 1 + sin C©u II. 1. Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý vÒ tÝnh liªn tôc ®Òu cña mét hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n. 2. Cho f (x) liªn tôc trªn [0, +∞). BiÕt r»ng tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n cña f (x) khi x → +∞. Chøng minh r»ng f (x) liªn tôc ®Òu trªn [0, +∞). C©u III. 1. XÐt sù héi tô ®Òu cña chuçi hµm +∞ 1 1 + . + sin 2 . 12 n nx 1 + n 3 x2 trªn kho¶ng (−∞, +∞). n=1 2. XÐt tÝnh kh¶ vi cña hµm sè +∞ S (x) = n=0 e−n x. 2 C©u IV. 1. TÝnh tÝch ph©n D (x2 + y 2 ) dxdy víi D = {(x, y) ∈ R2 : x4 + y 4 1}. 2. Cho f (x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm h÷u
