Mời các bạn tham khảo Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Giải tích năm 2005, 2007, 2008 và 2009 để phục vụ cho việc nghiên cứu, học tập, có thêm kiến thức và làm quen với dạng đề trước khi thi bước vào kì thi cao học. | Bé Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¹i Häc HuÕ Tr-êng §¹i häc S- ph¹m Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc §ît II - n¨m 2005 M«n thi: Gi¶i tÝch (Dµnh cho Cao häc) Thêi gian lµm bµi: 180 phót x2 C©u 1. XÐt chuçi hµm un víi un (x) = , 1 − x2n+1 n=1 ∞ n |x| x2 Chøng minh r»ng hµm f (x, y) kh¶ tÝch Riemann trªn h×nh ch÷ nhËt D = [−1, 2] × [0, 5] vµ tÝnh f (x, y)dxdy. D / C©u 3. Cho (X, d) lµ kh«ng gian mªtric, A lµ tËp con kh¸c trèng cña X, x0 ∈ X vµ x0 ∈ A. §Æt d(x0 , A) = inf d(x0 , a). a∈A a) Gi¶ sö A ®ãng, chøng minh d(x0 , A) > 0. b) Gi¶ sö A compact, chøng minh tån t¹i y0 ∈ A sao cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). c) Gi¶ sö X = Rn víi mªtric Euclide th«ng th-êng vµ A ⊂ Rn lµ tËp ®ãng. Chøng minh tån t¹i y0 ∈ A sao cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). C©u 4. Trong kh«ng gian C[0, 1] víi chuÈn "max" cho d·y (xn ) ⊂ C[0, 1] víi xn (t) = t ∈ [0, 1] vµ to¸n tö A : C[0, 1] → C[0, 1] cho bëi: t n4 2nt , + t2 Ax(t) = 0 x(s)ds, víi x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1]. a) Chøng minh A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. b) Chøng minh (Axn) héi tô vÒ 0 trong C[0, 1]. C©u 5. Gi¶ sö {en } lµ c¬ së trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert H vµ X lµ kh«ng gian Banach. Gi¶ ∞ sö A ∈ L(H, X) sao cho chuçi n=1 Aen 2 héi tô. Chøng minh A lµ to¸n tö compact. Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm BO GIAO DVCVA DAO TAO DAI H Q C HUE Ho vd,ten thi sinh: 56 b6o danh: KV THI TUYEN SrNH SAU DAr HOC NAM M6n thi: Giai tich (dd,nhcho Cao hpr) 180 phirt Thdi gi,anld,mbd,i,; Sv 2AO7 CAu I. 1. Chohdm hai bi6n f (r,a) -I , 2 + a ' ' 0, 2ra n6u (*,y) + (0,0), n6u (*,a)- (0,0). KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm / t a i d i d m ( 0 , 0 ) Chirng minh rHng dao hA"mriOng 1x lr6nhsp ', A2f d;N(O,0) .
