Tài liệu tham khảo Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006 sẽ giúp bạn thực hành giải các bài toán, phát triển kĩ năng giải bài tập tự luận, đồng thời ôn tập lại những kiến thức để chuẩn bị tốt cho kì thi. | H I TOÁN TRUY N TH NG NĂM 2006 Đ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Gi i tích Th i gian làm bài: 180’ Câu 1: V i m i n ∈ N, cho un = 4n n4 +2n2 +9 . Đ t Sn = u1 + u2 + . + un . Tìm lim Sn . n→∞ Câu 2: Cho f là m t hàm có đ o hàm liên t c đ n c p 2 trên (a, b). Gi s có M > 0 đ |f (x)| ≤ M v i m i x ∈ (a, b). Ch ng minh r ng f là liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Cho f : − π , π → (−1, 1) là m t hàm s kh vi, f không âm và liên t c. 2 2 Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ − π , π sao cho 2 2 (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 0, ta có |f (x)| ≤ K v i m i x ∈ (a, b). Lúc đó v i x, x ∈ (a, b), d th y |f (x) − f (x )| ≤ K|x − x |. V i ε > 0 tùy ý cho trư c, ch n δ = V y f liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Xét hàm s g(x) = arcsin(f (x)). Khi đó g : − π , π → − π , π liên t c trên 2 2 2 2 − π , π , kh vi trên − π , π . Theo đ nh lý Largange, t n t i x0 ∈ − π , π sao 2 2 2 2 2 2 cho π π g( ) − g(− ) = 2 2 f (x0 ) .π. 1 − (f (x0 ))2 ε . K N u |x − x | < δ thì |f (x) − f (x )| < ε. Theo gi thi t, v trái không âm và v ph i nh hơn π. Vì v y 0≤ f (x0 ) < 1. 1 − (f (x0 ))2 2 T
