Tài liệu "Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ về kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả. | Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 01. PHƯƠNG PHÁP QUY N P TOÁN H C L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên I. CƠ S C A PHƯƠNG PHÁP Dãy s , c p s ] 1. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ∈ N* thì ta th c hi n theo các bư c sau ây: Ki m tra m nh úng v i n = 1. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. 2. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ≥ p; (p là s m t s t nhiên) thì ta th c hi n như sau: Ki m tra m nh úng v i n = p. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. II. M T S VÍ D MINH H A Ví d 1 [ VH]: Ch ng minh các bi u th c sau úng v i m i s t nhiên n dương: n(n + 1) a) 1 + 2 + 3 + . + n = . 2 n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + . + n 2 = . 6 L i gi i: n( n + 1) a) 1 + 2 + 3 + . + n = , (1) 2 +) V i n = 1 thì ta có 1 = ⇒ (1) úng. 2 k (k + 1) +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1 + 2 + 3 + . + k = 2 (k + 1)(k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1 + 2 + 3 + . + k + (k + 1) = 2 k ( k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) Th t v y, 1 + 2 + 3 + . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . + k ) + (k + 1) = + k +1 = = 2 2 2 V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + . + n 2 = , ( 2) 6 +) V i n = 1 thì ta có 12 = ⇒ ( 2 ) úng. 6 k ( k + 1)(2k + 1) +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 12 + 22 + 32 + . + k 2 = 6 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) +) Ta s ch ng minh (2) úng v i n = k + 1, t c là 12 + 22 + 32 + . + k 2 + (k + 1) 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) Th t v y, 12 + 22 + 32 + . + k 2 + (k + 1) 2 = (12 + 22 + 32 + . + k 2 ) + (k + 1) 2 = + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 (k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ] (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = = = 6 6 6 6 V
