Tài liệu "Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả. | Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 02. M Th y I. NH NGHĨA DÃY S U V DÃY S - P1 ng Vi t Hùng [ VH] + Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ). Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;} ư c g i là m t dãy s h u h n. Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). II. CÁC CÁCH CHO M T DÃY S Dãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác 2 nh. Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15. Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a các dãy s sau: 3n + 1 1 + (−2) n a) un = 2 b) un = n +1 n +1 d) un = 2n + 1 2n − 1 c) un = 1 n +1 − n n e) un = n +1 n2 + 1 1 f) un = 1 + n Dãy s cho b i h th c truy h i u ho c m t vài s h ng u. u = a u = a; u2 = b ho c 1 Có hai d ng cho s h ng b i h th c truy h i thư ng g p là 1 un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = 2 Ví d 1 [ VH]: 1 ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22. un = 3un −1 + 1 Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a dãy s . D oán công th c un và ch ng minh công th c ó b ng phương pháp quy n p? u1 = 3 u1 = 1 u1 = −1 a) b) c) 2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 3; n ≥ 1 un +1 = 1 + un ; n ≥ 1 Hư ng d n gi i: u1 = 1 a) ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25. un +1 = un + 2n + 1 T ó ta có th nh n th y un = n 2 ; n ≥ 1, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 1, v y (*) úng. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k 2 ; k ≥ 1. Khi ó, dãy s xác nh ư c s h ng +) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0. Th t v y, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) úng. V y un = n 2 ; n ≥ 1. u1 = −1 b) ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11. un +1 = un + 3 T ó ta có th nh n th y un = 3n − 4, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có
