Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Các dạng toán về KGVT giới thiệu tới các bạn những dạng toán về xét xem v có là KGVT; xét xem W có là KGC; độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính; tổ hợp tuyến tính; cơ sở và số chiều của KGVT V; tọa độ của vectơ. Mời các bạn tham khảo. | CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT ( PHẦN 1 ) BÀI 4 Dạng 1 XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa . x, y, z thuộc tập hợp V . p thuộc trường K . hai phép toán (+ , .) (V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi (V,+, .) 1. x+y = y+x 5. = x 6. p.() = (). x 7. (p+q).x = + 8. p(x+y) = + 0 0 0 c 2. x+(y+z) = (x+y)+z 3. V: x+ = x 4. (-x) V: (-x)+x = c x+y = (x1+y1, x2+y2, . . ., xn+yn) = x = (x1, x2, . . ., xn) , y = (y1, y2, . . ., yn) (px1, px2, . . ., pxn) (V, +, .) x, y C V , p C K Ví dụ 1: (V,+,.) = V = K= Rn R Rn Cn Cn C Cn ( , C) (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y2, x2+y1) p(x1,x2) = (px1, px2); p R C Ví dụ 2: ( , +, . ) R2 là KGVT? ĐK1: x+y = y+x Chọn: x=(0,1) , y=(1,1) x+y = (1,2) y+x = (2,1) x+y = y+x ( , +, . ) R2 không là KGVT Ví dụ 3: = (px1, x2); p R C x = (1, 2) , p=3, q=4 (p+q).x = + 7(1, 2)= (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) (7, 2) ( , +, . ) R2 là KGVT? ĐK7: 3(1, 2)+ 4(1, 2) = (3, 2)+ (4, 2) (7, 4) = Vậy: (p+q).x = + p(x1,x2) (p+q)x = px+qx = ( , +, . ) R2 không là KGVT Dạng 2 XÉT XEM W CÓ LÀ KGC PP1: Dùng định nghĩa Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi: W với hai phép toán (+) và (.) được định nghĩa trên V cũng là một KGVT PP2: Dùng định lý Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m K, c mx+y W c 1. 2. Chú ý V và { } là hai KGC của KGVT V 0 W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = 0 } Ví dụ 1: CMR: W là KGC của R3 mx+y = m (x1,x2,x3) + (y1,y2,y3) ( , , ) = mx1+y1 mx2+y2 mx3+y3 mx1+y1+ mx2+y2 +mx3+y3 = m(x1+x2+x3) + (y1+y2+y3) = m. + 0 0 = 0 mx+y c W W là KGC m x, y W c R, c mx+y c W CM: W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = 1 } Ví dụ 2: CMR: W không là KGC của R3 ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m K c 1. Chọn: x=(1,0,0) y=(0,1,0) x+y= (1,1,0) x+y Không thuộc W y thuộc W x thuộc W W không là KGC của R3 CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT ( PHẦN 2 ) BÀI 4 PP: Dùng định lý Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: ° x+y W c x,y W, c ° mx W c m K, | CÁC DẠNG TOÁN VỀ KGVT ( PHẦN 1 ) BÀI 4 Dạng 1 XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa . x, y, z thuộc tập hợp V . p thuộc trường K . hai phép toán (+ , .) (V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi (V,+, .) 1. x+y = y+x 5. = x 6. p.() = (). x 7. (p+q).x = + 8. p(x+y) = + 0 0 0 c 2. x+(y+z) = (x+y)+z 3. V: x+ = x 4. (-x) V: (-x)+x = c x+y = (x1+y1, x2+y2, . . ., xn+yn) = x = (x1, x2, . . ., xn) , y = (y1, y2, . . ., yn) (px1, px2, . . ., pxn) (V, +, .) x, y C V , p C K Ví dụ 1: (V,+,.) = V = K= Rn R Rn Cn Cn C Cn ( , C) (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y2, x2+y1) p(x1,x2) = (px1, px2); p R C Ví dụ 2: ( , +, . ) R2 là KGVT? ĐK1: x+y = y+x Chọn: x=(0,1) , y=(1,1) x+y = (1,2) y+x = (2,1) x+y = y+x ( , +, . ) R2 không là KGVT Ví dụ 3: = (px1, x2); p R C x = (1, 2) , p=3, q=4 (p+q).x = + 7(1, 2)= (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) (7, 2) ( , +, . ) R2 là KGVT? ĐK7: 3(1, 2)+ 4(1, 2) = (3, 2)+ (4, 2) (7, 4) = Vậy: (p+q).x = + p(x1,x2) (p+q)x = px+qx =
