Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2

Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2 được biên soạn nhằm giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và vi phân hàm hợp; đạo hàm và vi phân hàm ẩn. Đây là bài giảng hữu ích đối với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan. | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung Đạo hàm và vi phân hàm hợp. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) Trường hợp riêng 1 Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) Trường hợp riêng 3: Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f. VÍ DỤ (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) 1/ Cho: tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’’u z’v = f’x. x’v + f’’v 2/ Cho: Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 3/ Cho: Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’’(t), dz = z’(t)dt, Cách 2: 4/ Cho: a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 b/ z’(x) = f’x + f’’(x) 5/ Cho: Tính z’x, z’y với f là hàm khả vi Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) 6/ Cho: Chứng minh đẳng thức: với f là hàm khả vi Đặt : z = (u) 7/ Cho: Tính dz theo dx, dy. với f là hàm khả vi Đặt: u = x2 – y , v = xy2 z = f(u, v) Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với 7/ Cho: Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng Lưu ý: d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp. d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường. Vi phân cấp 2 tính theo | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung Đạo hàm và vi phân hàm hợp. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) Trường hợp riêng 1 Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) Trường hợp riêng 3: Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f. VÍ DỤ (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) 1/ Cho: tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’’u z’v = f’x. x’v + f’’v 2/ Cho: Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 3/ Cho: Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’’(t), dz = z’(t)dt, Cách 2: 4/ Cho: a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 b/

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.