Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2 được biên soạn nhằm giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và vi phân hàm hợp; đạo hàm và vi phân hàm ẩn. Đây là bài giảng hữu ích đối với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan. | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung Đạo hàm và vi phân hàm hợp. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) Trường hợp riêng 1 Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) Trường hợp riêng 3: Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f. VÍ DỤ (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) 1/ Cho: tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’’u z’v = f’x. x’v + f’’v 2/ Cho: Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 3/ Cho: Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’’(t), dz = z’(t)dt, Cách 2: 4/ Cho: a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 b/ z’(x) = f’x + f’’(x) 5/ Cho: Tính z’x, z’y với f là hàm khả vi Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) 6/ Cho: Chứng minh đẳng thức: với f là hàm khả vi Đặt : z = (u) 7/ Cho: Tính dz theo dx, dy. với f là hàm khả vi Đặt: u = x2 – y , v = xy2 z = f(u, v) Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với 7/ Cho: Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng Lưu ý: d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp. d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường. Vi phân cấp 2 tính theo | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung Đạo hàm và vi phân hàm hợp. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) Trường hợp riêng 1 Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) Trường hợp riêng 3: Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f. VÍ DỤ (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) 1/ Cho: tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’’u z’v = f’x. x’v + f’’v 2/ Cho: Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 3/ Cho: Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: với z’(t) = f’x. x’(t) + f’’(t), dz = z’(t)dt, Cách 2: 4/ Cho: a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 b/
