Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 3 bao gồm những nội dung về đạo hàm theo hướng; ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng; sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến; định lý (cách tính đạo hàm theo hướng); pháp tuyến – tiếp diện của mặt cong; khai triển Taylor. | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector . Đạo hàm của f theo hướng tại M0: chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng Xét đường cong là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M0. Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0. Vẽ đường cong Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi qua M0 và nhận làm vector chỉ phương. Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) Nếu hàm f khả vi tại M0, là vector đơn vị, đạo hàm theo hướng tại M0 tồn tại, khi đó: Hàm 3 biến cũng được tính tương tự. Công thức tổng quát là vector tùy ý: (hàm 2 biến) (hàm 3 biến) Ví dụ 1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox tại điểm (-2,1) của hàm số Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là: 2. Tìm đạo hàm theo hướng tại của Vector Gradient Gọi là các vector đơn vị trên các trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại . Gradient của f tại M0 là: Liên hệ là góc giữa đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: Tổng quát Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất. Ví dụ 1/ Tìm Với: KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có: Cụ thể: Phần dư Lagrange Có thể thay Rn bởi o( n) (Peano) (là VCB bậc cao hơn n khi 0), Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0) 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho Đặt X = x, Y = y – 1, Ví dụ Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành 4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho Suy ra f”xy(1, 2) Ví dụ f”xy(1, 2) = 1 PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S L là đường cong trong S đi qua M. Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M. Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M. PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) L Vector chỉ phương của tiếp tuyến tại M là : M S: F(x,y,z) = 0, ta có: grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của S tại M. Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp vector của mặt cong S. (với mọi đường cong trong S và qua M) Phương trình pháp tuyến Phương trình tiếp diện Ví dụ 1/ Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu: | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector . Đạo hàm của f theo hướng tại M0: chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng Xét đường cong là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M0. Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0. Vẽ đường cong Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi qua M0 và nhận làm vector chỉ phương. Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) Nếu hàm f khả vi tại M0, là vector đơn vị, đạo hàm theo hướng tại M0 tồn tại, khi đó: Hàm 3 biến cũng được tính tương tự. Công thức tổng quát là vector tùy ý: (hàm 2 biến) (hàm 3 biến) Ví dụ 1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox tại điểm (-2,1) của hàm số Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là: 2. Tìm đạo hàm theo hướng tại của Vector Gradient Gọi là các vector đơn vị trên các trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại . Gradient của f tại M0 là: Liên hệ là góc giữa đạt .
