Bản đồ Königsberg thời Euler, mô tả vị trí thực của bay cây cầu và sông Pregel. Bài toán bảy cây cầu Euler, còn gọi là Bảy cầu ở Königsberg nảy sinh từ nơi chốn cụ thể. Thành phố Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên sông Pregel, bao gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu. | r J r 1 V Ä Tl 1 Bài toán bảy cây câu Euler Bản đồ Königsberg thời Euler mô tả vị trí thực của bay cây cầu và sông Pregel. Bài toán bảy cây câu Euler còn gọi là Bảy câu ở Königsberg nảy sinh từ nơi chốn cụ thể. Thành phố Königsberg Đức nay là Kaliningrad Nga nằm trên sông Pregel bao gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu. Câu hỏi đặt ra là có thể đi theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một lần rồi quay lại điểm xuất phát hay không. Năm 1736 Leonhard Euler đã chứng minh rằng điều đó là không thể được. Người ta kể rằng khoảng năm 1750 vào các ngày Chủ nhật những người dân giàu có và học thức của thành phố đã đi dạo quanh để tìm cách giải bài này nhưng đây có lẽ chỉ là một truyền thuyết. Lời giải của Euler Để chứng minh kết quả Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ thị. Ông loại bỏ tất cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu sau đó thay thế mỗi vùng đất bằng một điểm gọi là đỉnh hoặc nút và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn nối gọi là cạnh hoặc liên kết. Cấu trúc toán học thu được được gọi là một đồ thị. Hình thù của đồ thị có thể bị bóp méo theo đủ kiểu nhưng không làm đồ thị bị thay đổi miễn là các liên kết giữa các nút giữ nguyên. Việc một liên kết thẳng hay cong một nút ở bên phải hay bên trái một nút khác là không quan trọng. Euler nhận ra rằng bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng bậc của các nút. Bậc của một nút là số cạnh nối với nó trong đồ thị các cây cầu Königsberg ba nút có bậc bằng 3 và một nút có bậc 5. Euler đã chứng minh rằng một chu trình có dạng như mong muốn chỉ tồn tại khi và chỉ khi không có nút bậc lẻ. Một đường đi như vậy được gọi là một chu trình Euler. Do đồ thị các cây cầu Königsberg có bốn nút bậc lẻ nên nó không thể có chu trình Euler. Có thể sửa đổi bài toán để yêu cầu một đường đi qua tất cả các cây cầu nhưng không cần có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Đường đi như vậy được gọi là một đường đi Euler. Một đường đi như vậy tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có .
