Bài giảng "Giải tích 1: Đạo hàm và vi phân" nội dung chi tiết: Đạo hàm tại 1 điểm, cách tính đạo hàm, đạo hàm các hàm lượng giác ngược, đạo hàm hàm cho theo tham số, công thức đạo hàm cấp cao,. nội dung chi tiết. | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b) x0, xét tỷ số Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0. Đặt x x0 f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0)) x f(x0) x0 x Đạo hàm trái tại x0: Đạo hàm phải tại x0: f có đạo hàm tại x0 Cách tính đạo hàm Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa. Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra tại x = 1 tại x = 0 1 x 0- 1 f ’(0) không tồn tại x 0+ Tính bằng định nghĩa. tại x = 1 Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b) (c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f 1: (c, d) (a, b) liên tục và tăng ngặt. Nếu tồn tại f ’(x0) 0, xo (a, b) thì tại y0 = f(x0), f 1 có đạo hàm và Ta thường viết: Đạo hàm các hàm lượng giác ngược y = arcsinx, x (-1, 1) x = sin y, y = arctanx, x R x = tan y, Bảng công thức đạo hàm các hàm mới Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình ( ) gọi là hàm ẩn xác định bởi ( ) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt ( ) theo x, giải tìm y’ theo x và y. Tìm y’(x) với y xác định từ pt : ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x So sánh với kết quả lấy đạo hàm từ các biểu thức Ví dụ Ví dụ Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x Từ ( ), với x = 0 y = -1 ( ) Thay vào ( ): Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt: ( ) Lấy đạo hàm ( ) hai theo x Từ ( ), x = 1 y = 0, thay vào ( ) ( ) Đạo hàm hàm cho theo tham số Cho các hàm số : Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 Ví dụ Cho : Tính y’(x) tại x = -1 x = -1 – 1 = – 1 t = 0 ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặt | ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b) x0, xét tỷ số Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0. Đặt x x0 f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0)) x f(x0) x0 x Đạo hàm trái tại x0: Đạo hàm phải tại x0: f có đạo hàm tại x0 Cách tính đạo hàm Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa. Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra tại x = 1 tại x = 0 1 x 0- 1 f ’(0) không tồn tại x 0+ Tính bằng định nghĩa. tại x = 1 Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b) (c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f 1: (c, d) (a, b) liên tục và tăng ngặt. Nếu tồn tại f ’(x0) 0, xo (a,
