Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số" cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số thực, các cách cho dãy số, dãy bị chặn, Tính chất dãy hội tụ, sự hội tụ và dãy con, 7 dạng vô định, tiêu chuẩn Weirstrass,. nội dung chi tiết. | GIỚI HẠN DÃY SỐ DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. VD: 1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, 3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, Các cách cho dãy số 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3, ; dãy 1, 1/2, 1/3, 2/ Dạng tường minh: {xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: VD: dãy dãy Dãy đơn điệu {xn} là dãy tăng xn xn+1, với mọi n đủ lớn {xn} là dãy giảm xn xn+1, với mọi n đủ lớn Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”) Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: Ví dụ giảm tăng Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm f(x) tăng {xn} tăng. Dãy bị chặn {xn} là dãy bị chặn trên M : xn M, n N0 {xn} là dãy bị chặn dưới m : xn m, n N0 {xn} bị chặn {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới VD: Xeùt tính bò chaën cuûa caùc daõy Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra DÃY CON Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này 1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta được 1 dãy con của {xn}. VD: {x2n – 1} {x2n} {x2n-1} = {x1, x3, x5, } {x2n} = {x2, x4, x6, } GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn là a khi n ra tức là xn a khi n đủ lớn Dãy hội tụ Định nghĩa chặt chẽ: Ví dụ Chứng minh Chọn N0 1/ , với > 0 (đủ bé) * Với = 10-3, tìm N0? Tính chất dãy hội tụ Dãy hội tụ thì bị chận. an 0 và an a thì a 0 an a và a 0 (lớn) tùy ý, Chọn N0 > log2M + 1, ta có : Các phép toán trên dãy phân kỳ ra 1/ Nếu thì 2/ Nếu thì ( ) 3/ GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN 2/. Haøm muõ: 1/. Luõy thöøa: Ví dụ 7 DẠNG VÔ ĐỊNH Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia: Đối với dạng mũ Với n 2000: Ví dụ tổng hợp Tổng cấp số nhân ( 0 ) TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ, Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ VD: 1/ Chứng minh tồn tại giới hạn sau: 2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số: TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Dùng quy nạp chứng minh xn > 2 (bị chặn dưới) Đơn điệu: Gs xk > 2, {xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụ Gọi: Khi đó Ta lại có Qua giới hạn khi n , ta được SOÁ e Chứng minh tồn tại giới hạn sau : Tính đơn điệu: sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n) Vậy {xn} tăng. Bị chặn: PHAÙ DAÏNG VOÂ ÑÒNH 1
