Bài tập minh họa Toán cực trị trong không gian tọa độ | Baøi Toaùn 6 (Cöïc Trò Trong Khoâng Gian Toaï Ñoä) Baøi taäp minh hoaï: Trong khoâng gian Oxyz cho hai ñieåm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng . Trong caùc ñöôøng thaúng ñi qua A vaø caét d ; haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng coù khoaûng caùch ñeán ñieåm B laø : a) Nhoû nhaát. b) Lôùn nhaát Baøi giaûi ñeà nghò. Caùch 1: Phöông phaùp hình hoïc. Goïi laø ñöôøng thaúng qua A vaø caét d; vaø d cuøng thuoäc maêt phaúng (P)= mp(A;d). Goïi H laø hình chieáu cuûa B treân (P); K laø hình chieáu cuûa H treân thì BK . Vaäy BK chính laø khoaûng caùch töø B ñeán . * Trong tam giaùc vuoâng BKH thì BK BH neân BK ngaén nhaát khi K . Khi aáy ñi qua hai ñieåm A vaø H. *Trong tam giaùc vuoâng BKA thì BK BA neân BK lôùn nhaát khi K . Khi aáy ñi qua A naèm trong (P) vaø vuoâng goùc vôùi BA. a) Tröôøng hôïp d(B, nhoû nhaát. Phöông trình mp(P)= mp(A,d). VTCP cuûa d laø . Hai ñieåm A(1;4;2) vaø M(1;-2;0) thuoäc d vaø . Do ñoù VTPT cuûa mp (P) laø . Ta choïn . Ta ñöôïc phöông trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 5x-y+3z-7 = 0. Goïi H laø hình chieáu cuûa B treân (P). Ta deã daøng tìm ñöôïc . Nhö theá veùctô chæ phöông cuûa laø . Chonï VTCP cuûa laø . Ta ñöïoc phöông trình cuûa : b) Tröôøng hôïp d(B, lôùn nhaát Tröôøng hôïp naày thì naèm trong (P) , ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi BA. Ta coù ; VTPT cuûa (P) laø . Do ñoù VTCP cuûa laø: =(-4;16;12) . Choïn Ta ñöôïc phöông trình ñöôøng thaúng Caùch 2: Phöông phaùp giaûi tích. Goïi M = d thì M( 1-t;-2+t;2t) vaø coù VTCP laø . Ta coù: . Do ñoù khoaûng caùch töø B ñeán ñöôøng thaúng laø: Xeùt haøm soá . Ta coù . f(t)= 0 t = -2 hoaëc t= 30/11. Do neân Max f(t)= 12 khi t= - 2 vaø min f(t)= 4/5 khi= 30/11. Vôùi max f(t) = max d2= 12 , ta coù max d= khi t=-2 cho . Choïn VTCP cuûa laø ta ñöôïc phöông trình Vôùi min f(t)= mind2=4/15 , ta coù min d= khi cho Choïn VTCP cuûa laø . Ta ñöôïc phöông trình cuûa laø: Heát
