Gửi đến các bạn tài liệu Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi Toán Quốc tế Imo năm 2016. Tài liệu gồm có 2 đề thi cùng hướng dẫn giải hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và ôn thi. Để nắm vững hơn nội dung kiến thức đề thi tài liệu. | ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM rg .o e THAM DỰ KÌ THI TOÁN QUỐC TẾ IMO 2016 Ngày thứ nhất p co hs Bài 1 Tìm a, n nguyên dương với a > 2 để mỗi ước nguyên tố của a n − 1 cũng là ước 2016 nguyên tố của a 3 − 1. Bài 2 A là tập 2000 số nguyên phân biệt và B là tập 2016 số nguyên phân biệt. K là số cặp at m // : p (m, n) có thứ tự với m thuộc A và n thuộc B mà |m − n| ≤ 1000. Tìm max K ? Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B,C cố định, A chuyển động trên cung BC của (O). Các phân giác AD, B E ,C F giao nhau tại I . Đường tròn qua D tiếp xúc với O A tại A cắt (O) tại G . GE ,GF giao (O) lần thứ hai tại M , N . B M giao C N tại H . a) Chứng minh rằng AH đi qua một điểm cố định. b) B E ,C F giao (O) lần lượt tại K , L . AH giao K L tại P . Q là một điểm trên E F sao cho QP = Q I . J là điểm nằm trên (B IC ) sao cho I J ⊥ IQ . Chứng minh rằng trung điểm I J chuyển động trên một đường tròn cố định. tt h Ngày thứ nhì Bài 4 ∠B AC . Lấy điểm D thuộc Cho tam giác ABC nhọn có ∠ AC B 2 để mỗi ước nguyên tố của a n − 1 cũng là ước nguyên tố 2016 của a 3 − 1. TST 2016 rg .o e Lời giải (trungnghia215) Bổ đề 1. gcd(a m − 1, a n − 1) = a gcd(m,n) − 1 Chứng minh bổ đề. Gọi d = gcd(a m − 1, a n − 1) Để ý a gcd(m,n) − 1 | a m − 1, a n − 1 =⇒ a gcd(m,n) − 1 | d =⇒ d ≥ a gcd(m,n) − 1 Mặt khác a m ≡ 1 (mod d ) và a n ≡ 1 (mod p) nên ordd (a) | m, n =⇒ ordd (a) | gcd(m, n) Hay a gcd(m,n) ≡ 1 (mod d ) hay a gcd(m,n) − 1 ≥ d . Kết hợp lại ta có đpcm. u Bổ đề 2. 33 + 1 = 2t có nghiệm duy nhất là (u, t ) = (0, 2). u u−1 u−1 Chứng minh bổ đề. Xét u ≥ 1, khi đó 33 = (33 )3 ≡ 33 (mod 8). Đến đây lùi về sẽ thu được 3u 3 ≡ 3 (mod 8). Từ đó ta có u = 0 là nghiệm duy nhất. 2016 Giả thiết bài toán quy thành p là ước nguyên tố của a n −1 thì p | d với d = gcd(a n −1, a 3 −1) Ta đặt n = 3u .v với gcd(v, 3) = 1. u TH1. u ≤ 2016. Khi đó theo bổ đề d = a 3 − 1 u 2016 i) Nếu v = 1 thì ta dễ thấy a 3 − 1 | a 3 − 1. u ii) Xét v ≥ 2, khi đó ta có a v − 1 | a n − 1. Bài toán suy ra .
