Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Giải tích

Để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải đề chuẩn bị cho kì thi Olympic Toán sinh viên sắp tới, Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Giải tích. Từ đó, giúp các bạn nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề đạt hiệu quả cao hơn. | HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2016 ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 120 phút Họ và tên thí sinh: SBD: Bài 1. (Dãy số) 1) Cho dãy số an xác định bởi: a1 1, an 1 3an 2, n 2. 3 3 17 an với mọi n 1. 2 2 b) Chứng minh dãy số đơn điệu. c) Chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của dãy số. 1 2) Cho dãy số an xác định bởi: a1 1, an 1 an , n 1. Chứng minh lim an . n 2016 a n a) Chứng minh rằng 3) Cho a (0,1) và dãy số xn xác định bởi x0 a, xn 1 xn (1 xn 2 ) với mọi n 0,1, 2. a) Chứng minh xn giảm, bị chặn dưới và có giới hạn 0. b) Tìm giới hạn lim nxn . (HD: tìm cách sử dụng định lý Stolz) n Bài 2. (Hàm số, hàm số liên tục) 1) Giả sử f là một hàm số thực xác định trên x, y a) sao cho f ( xy) xf ( x) yf ( y) với mọi . Bằng cách chọn các giá trị thích hợp của x, y , chứng minh rằng: f (1) 0. b) Hơn nữa, f ( x) 0 với mọi x . 2) Cho hàm số f :[1; 2] [2; 4] là hàm số liên tục. Chứng minh rằng tồn tại x0 [1; 2] sao cho f ( x0 ) 2 x0 . (HD: sử dụng định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục) Bài 3. (Phép tính vi phân hàm số) ln x 1 với mọi 0 x 1. x 1 x 2) Cho f ( x ) là hàm số khả vi cấp hai liên tục trên và phương trình f ( x) 0 có ba nghiệm phân biệt. a) Áp dụng định lý Rolle với hàm số G( x) e 2 x f ( x), hãy chứng minh phương trình 1) Chứng minh rằng f '( x) 2 f ( x) 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. b) Chứng minh rằng phương trình f ''( x) 4 f ( x) 0 có ít nhất một nghiệm. ------------------------------------------- Hết ------------------------------------------Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2016 ĐÁP ÁN MÔN : GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. 1) a1 1,a n 1 3a n 2, n 2 a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 3 3 17 an (*) (đã điều chỉnh lại đề bài) 2 2 Với n

Bấm vào đây để xem trước nội dung
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.