Bài giảng Chương 2: Định thức cung cấp cho các bạn những kiến thức về định nghĩa định thức cấp n, các tính chất cơ bản của định thức, định thức tích của hai ma trận, điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch, các phương pháp tính định thức. | Bài gi ng tóm t t: CHƯƠNG 2: ð NH TH C 1. ð nh nghĩa ñ nh th c c p n: ð nh nghĩa 1: Cho A ∈ Mn, ñ nh th c c a A là m t s th c b ng n ∑ ( −1) 1+ j (1) a1 j M 1 j j =1 Ký hi u ñ nh th c ∆ = det A = aij . ð nh th Ví d : 1 A = 4 7 c con M1j là ñ nh th c c a ma tr n có ñư c t A b ng cách xóa ñi hàng 1 và c t j. 2 3 4 5 5 6 thì M 13 = . 7 8 8 9 ð nh nghĩa: ph n ph ñ i s c a các ph n t hàng 1, ký hi u là A1j, qua các ñ nh th c con M1j b ng công th c: 1+ j A1 j = ( −1) M 1 j . (2) Khi ñó ñ nh th c c a ma tr n vuông c p n c a A là: n ∆ = ∑ a1 j A1 j (3) j =1 Công th c (3) g i là công th c khai tri n ñ nh th c theo các ph n t dòng 1. ð nh lý 1 (ð nh lý Laplace): Cho A ∈ Mn. ð nh th c c p n c a A b ng t ng các tích c a các ph n t m t hàng ho c m t c t b t kỳ v i ph n ph ñ i s tương ng: a) Hàng i: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (4) j =1 b) C t j: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (5) i =1 trong ñó Aij là ph n ph ñ i s ñư c tính tương t như (2): Aij = ( −1) 2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c: Tính ch t 1: N u A ∈ Mn thì det(A) = det(AT). Tính ch t 2: N u A ∈ Mn có ít nh t m t dòng là dòng 0 thì det(A)=0. 1 i+ j M ij . Tính ch t 3: Cho A ∈ Mn. N u A’ nh n ñư c t A b ng cách hoán ñ i 2 dòng i ≠ j thì det(A’) = –det(A). Tính ch t 4 (H qu c a tính ch t 3): N u hai dòng c a A ∈ Mn có các h s tương ng b ng nhau thì det(A) = 0. Tính ch t 5: N u nhân m t dòng c a A ∈ Mn v i m t s α thì det(A) tăng lên α l n. Tính ch t 6: (H qu c a tính ch t 4 và 5) N u hai dòng c a A ∈ Mn có các h s tương ng t l nhau thì det(A) = 0. Tính ch t 7: Cho A=(a)ij ∈ Mn. N u các ph n t dòng i c a A có d ng aij=bj+cj , j = 1, n , thì det ( A) = det ( B ) + det ( C ) v i B và C là hai ma tr n có ñư c t A b ng cách thay dòng i c a A b i các giá tr bj và cj tương ng. Tính ch t 8: (H qu c a tính ch t 6 và 7) N u ñ nh th c có 1 hàng là t h p tuy n tính c a 2 hàng khác thì ñ nh th c b ng 0. Tính ch t 9: Cho A ∈ Mn. N u A’ có ñư c t A qua phép bi n ñ i sơ c p trên dòng lo i (III) (thay 1 .
