Luận văn trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp; trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, . | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHÍ MINH ------------------------------ ĐỖ TRẦN MINH VŨ MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI MỞ ĐẦU Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M = 0 và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, (M ) = ρ là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mô đun con N của M được gọi là mô đun con ρ-nguyên sơ nếu mô đun thương M/ là ρ-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự N biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M: N = Q1 ∩ Q2 ∩ . ∩ Qn . Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con nguyên sơ Q1 , Q2 , ., Qn thỏa các điều kiện : M/ (1) Các iđêan nguyên tố Qi phân biệt. (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại. Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0 và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, (M ) = ρ là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + . + Nn . Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , ., Nn thỏa các điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố (Ni ) phân biệt. (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được. Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó, được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp. Hầu hết các chứng minh trong chương này
