Tài liệu do . Nguyễn Bích Huy gồm hai phần: tóm tắt lý thuyết và bài tập minh họa về Ánh xạ liên tục. Các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các bạn dễ đối chiếu với kết quả bài làm của mình. Tài liệu hữu ích cho các bạn chuyên cao học ngành Toán học. . | GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán Phần 1. Không gian metric §3. Ánh xạ liên tục (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y • Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0 ) x0 (t), ∀t ∈ [a, b]} (x0 ∈ C[a,b] cho trước ) là tập mở, ta có thể làm như sau. Xét ánh xạ f : C[a,b] → R, f (x) = inf (x(t) − x0 (t)) a≤t≤b Ta có: • f liên tục (lý luận như khi chứng minh f1 liên tục) 3 • M = {x ∈ C[a,b] : f (x) > 0} = f −1 ((0, +∞)), (0, ∞) là tập mở trong R Bài 2. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Các mệnh đề sau là tương đương 1. f liên tục trên X 2. f −1 (B) ⊃ f −1 (B) ∀B ⊂ Y 3. f (A) ⊂ f (A) ∀A ⊂ X Giải. 1) ⇒ 2) Ta có f −1 (B) là tập đóng (do f liên tục và B ⊂ Y là tập đóng) f −1 (B) ⊃ f −1 (B) =⇒ f −1 (B) ⊃ f −1 (B) (do tính chất "nhỏ nhất" của bao đóng) 2) ⇒ 3) Đặt B = f (A) trong 2), ta có f −1 (f (A) ) ⊃ f −1 (f (A)) ⊃ A Do đó f (f −1 (f (A) )) ⊃ f (A) =⇒ f (A) ⊃ f (A) 3) ⇒ 1) Xét tùy ý tập đóng F ⊂ Y , ta cần chứng minh f −1 (F ) là tập đóng. Đặt A = f −1 (F ), ta có f (A) ⊂ f (A) = f (f −1 (F )) ⊂ F = F (do F đóng) =⇒ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (F ) =⇒ A ⊂ A Vậy A = A nên A là tập đóng. Bài 3. Trong C[a,b] ta xét metric d(x, y) = sup{|x(t) − y(t)|, a ≤ t ≤ b}. Cho ϕ : [a, b] × R → R là hàm liên tục. Chứng minh ánh xạ sau đây liên tục F : C[a,b] → C[a,b] , F (x)(t) = ϕ(t, x(t)) Giải. Cố định x0 ∈ C[a,b] , ta sẽ chứng minh F liên tục tại x0 . Đặt M = 1 + sup |x0 (t)|. Cho ε > 0 tùy ý. a≤t≤b Hàm ϕ liên tục trên tập compact D := [a, b] × [−M, M ] nên liên tục đều trên D. Do đó, tồn tại số δ1 > 0 sao cho ∀(t, s), (t , s ) ∈ D, |t − t | 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ C[a,b] , d(x, x0 ) < δ ⇒ d(F (x), F (x0 )) < ε hay F liên tục tại x0 . Bài 4. Cho các không gian metric X, Y và song ánh f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương 1. f −1 : Y → X liên tục 2. f là ánh xạ .
