Tài liệu do PGS TS. Lê Hoàn Hóa biên soạn, tài liệu trình bày về lý thuyết Không gian mêtric đầy đủ và Không gian mêtric compact; mỗi phần đều kèm theo bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết. Hi vọng với tài liệu hữu ích này các bạn đang theo học cao học ngành Toán học sẽ ôn tập thật tốt. . | GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 21 tháng 12 năm 2004 KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt) 5 Không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric và (xn )n là dãy trong X. Dãy (xn )n là dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n n0 , ∀p ∈ N thì d(xn+p , xn ) 0 cho trước, có n0 ∈ N sao cho với mọi n n0 và p ∈ N thì d(xn+p , xn ) 0 có n0 ∈ N sao cho với n n0 , p ∈ N thì d(xn+p , xn ) n0 , khi đó: d(xn , x) d(xn , xnk ) + d(xnk , x) 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x ) 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x ) 0, ∃δ > 0 : ∀x, x ∈ X, d(x, x ) 0 sao cho BY (f (x), ε) ⊂ B. Do f liên tục nên tồn tại δ > 0 sao cho f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε) ⊂ B Suy ra BX (x, δ) ⊂ f −1 (B). Vậy f −1 (B) là mở. b)⇒a) Với x ∈ X và ε > 0, do f −1 (BY (f (x), ε)) là tập mở chứa x nên có δ > 0 sao cho: BX (x, δ) ⊂ f −1 (BY (f (x), ε)) Suy ra f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), .
