Xin giới thiệu đến các em học sinh Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013-2014 môn Toán 9 có hướng dẫn giải chi tiết. Nhằm giúp các em củng cố kiến thức môn Toán, ôn thi thật hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo. | Bài 1: (3điểm) Cho biểu thức: . 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của x để A > 1. Bài Nội dung Điểm ĐKXĐ: => Do Bài 2: (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: . Bài Nội dung Điểm 2 2 điểm Nhân cả 2 vế của phương trình cho 4, ta được: Vì x, y nguyên, suy ra: hoặc Giải hệ phương trình (I) ta được x = - 4; y = 4 Giải hệ phương trình (II) ta được x = - 3; y = 3 Bài 3: (5 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: Bài Nội dung Điểm 3 điểm ĐKXĐ: Đặt Ta có hệ phương trình: Từ (1) => v = 4 – u, thay vào (2) ta được: u2 + (4 – u)2 = 8 => u2 – 4u + 4 = 0 => (u – 2)2 = 0 => u = 2 Suy ra x = 9 (thỏa mãn điều kiện xác định) điểm 2điểm Trừ từng vế của hệ phương trình ta được: * Nếu x – y = 0 => x = y, thay vào (1) ta được: Suy ra : x = y = 1 và x = y = 2 điểm * Nếu x + y – 1 = 0 => x + y = 1 => y = 1 – x Thay vào (1) ta được: Mà ; Nên phương trình vô nghiệm. Vậy hpt đã cho có 2 nghiệm là: (x = y = 1) và (x = y = 2) Bài 4: (4 điểm) Cho hình thang ABCD, có ; ; CD = 30 cm; đường chéo CA vuông góc với CB. Tính diện tích của hình thang ABCD. Bài Nội dung Điểm 4 4điểm Ta có (cùng phụ với ) Vì thế tam giác vuông ACD còn là nửa tam giác đều, ta có: AC = 2AD Theo định lý Pitago thì: AC2 = AD2 + CD2 Hay (2AD)2 = AD2 + CD2 => 3AD2 = CD2 => 3AD2 = 302 = 900 hay AD = 10 (cm) Kẻ CH AB. Tứ giác ADCH là hình chữ nhật (vì ). điểm Suy ra: AH = CD = 30 (cm); CH = AD = 10 (cm) điểm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ACB, ta có: CH2 = (cm) => AB = AH + HB = 30 + 10 = 40 (cm) điểm (cm2) điểm Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r), cạnh BC tiếp xúc với đường tròn tại N. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; r), tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BN = GC. Bài Nội dung Điểm 4 4 điểm Vẽ tiếp tuyến tại M của đường tròn (O; r), tiếp tuyến này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. điểm Vẽ OH AB => OH = r (vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O; r)). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì ta có: OE và OB là phân giác của hai góc và . Mà hai góc này kề bù, nên điểm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông EOB, đường cao OH ta được: = HO2 = r2 điểm Cũng theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: HE = EM và HB = NB Do đó = = r2. điểm Tương tự ta có: = r2 điểm Do đó = => điểm Do EF // BC nên điểm Từ (1) và (2) suy ra BG = NC. Hay BN + NG = CG + NG. Vậy BG = CG điểm Bài 6:(2 điểm) Cho biểu thức , trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: A > 0. Bài Nội dung Điểm 6 2 điểm Ta có: = Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên: a + b + c > 0 và: Vậy A > 0 Câu 1: Cho điểm A(0; – 1) và B(– 4; 3). Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Gọi pt đường thẳng qua AB là y = ax + b. Vì AB qua A(0 ; -1) => b = - 1. AB đi qua B (- 4; 3) => 3 = a.(- 4) – 1 => a = - 1. Do đó ptđt AB là : y = - x – 1. Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là trung bình cộng các tọa độ cua A và B, suy ra tọa độ của M ( - 2 ; 1). Đường thẳng (d) vuông góc với AB nên hệ số góc của nó là 1. Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = x + m. Vì (d) đi qua M ( - 2 ; 1) nên : 1 = -2 + m => m = 3. Vậy ptđt (d) là : y = x + 3
