Tài liệu tham khảo về lý thuyết thặng dư | CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 1. KHÁI NIỆM VỀ THẶNG DƯ 1. Định nghĩa thặng dư Giả sử f z là một hàm giải tích trong một lân cận của điểm a trừ chính điểm a nghĩa là a là điểm bất thường cô lập của f z . Nếu C là đường cong kín bất kì bao lấy điểm a và nằm trong lân cận nói trên thì theo định lí Cauchy tích phân I f z dz là một số không phụ thuộc C. Ta gọi thặng dư của hàm f z tại a là kết quả phép chia If z dzcho 2nj. Thặng dư được kí hiệu là Res f z a . Tóm lại 1 Res f z a I f z dz 1 2njC 1 a z a Ví dụ Res 1 X 1j__2rçj1 - 1 dz -zL 1 2nj C z a 2nj 2. Cách tính thặng dư Công thức chung để tính thặng dư là Res f z a C-1 2 Trong đó C-1 là hệ số của ỉ trong khai triển Laurent của hàm f z tại lân cận điểm a. Chứng minh Theo công thức tính hệ số của khai triển Laurent c 1 I f z dZ n 2nj C S a n 1 Khi n -1 ta có 1 c 1 tM f z dz Res f z a 2nj C a. Thặng dư tại cực điểm đơn Nếu a là cực điểm đơn của hàm f z thì Res f z a lim z a f z z a 3 Ví dụ 1 Vì z 2 là cực điểm đơn của Res f z a lim z 2 z 2 z2 ---- nên z 2 limz2 z 2 z2 z 2 4 Ví dụ 2 Cho f z - . Tính thặng dư tại a sinz Ta đã biết 0 í z 1 y sin z z z3 z5 3 5 2 _4 zz 3 5 y 7 88 1 z 0 Căn cứ vào khai triển này ta thấy điểm z 0 là không điểm đơn của sinz. vậy điểm z 0 là cực điểm đơn của f z - . Theo 3 ta có sin z Res f z a lim z z 0 L sin z f1 z Định lí Giả sử f z J trong đó f1 z và f2 z là những hàm giải tích tại a. Điểm f2 z a là không điểm đơn của f2 z0 và không phải là không điểm của f1 z . Khi đó Res f z a Ặôậ 4 f a Chứng minh Theo giả thiết ta thấy a là cực điểm đơn của f z . Theo 3 ta có Res f z a lim z - a z f2 z z a fi z f2 z lim z a L z - a J Vì f2 a 0 nên ta có thể viết limf1 z Res f z a fz - f a lim 2 z 12 a z a z - a Ví dụ 3 Tính thặng dư của f z cotgz Vì a 0 là đơn của cotgz nên theo 4 ta có Res f z a f1 a cos0 1 5 f2 a cos0 fi a f a Ví dụ 4 Tính thặng dư của hàm f z z 1 tại a 2j. z 4 Vì 2j là không điểm đơn của z2 4 nên nó là cực điểm đơn của f z . Theo 4 ta có . 1 - fí a _ 2j 1 _ 1 1 . Res f z a 4 - ---7 j f2
