Tham khảo tài liệu 'phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với các biến độc lập', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHƯƠNG 7 PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN 1. PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP 1. Phân loại các phương trình Khi khảo sát các bài toán vật lí ta nhận được phương trình đạo hàm riêng cấp 2 dạng È ai j x d _ È bi x 77 c x u d x 1 i j i ổxiổyJ i i ổxi Trong đó aij x bi x c x và d x là các hàm nhiều biến đã cho của x x1 x2 .xn còn u x là các hàm cần xác định. Trong thực tế ta thường gặp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với hai biến độc lập dạng d2u d2u d2u J ổu du a d 2b dxdy c d d dx e dy gu h Trong đó a b c d g h là các hàm hai biến của x và y. Trong giáo trình này ta chỉ xét các phương trình dạng 2 . Để đơn giản ta viết lại 2 d2u d2u. d2u a -y 2b c -T dx2 ổxổy ổy 2 J ỡu ỡu I x y u 7 2T 0 V ổx ỡy J Các phương trình này có thế phân thành các loại sau Phương trình hyperbolic ổ 2u ổxổy 3 V Phương trình eliptic ổ 2u ổ 2u -7-T T2 2 ổx2 dy ỡu ỡu 1 x y u 7 c ỡx ỡy J x y u V Phương trình parabolic ổ 2u a- 2 ỡu ỡu . x y u 7 7 V ổx ỡy J ỡu ổu ổu dx ỡy J 2. Các bài toán cơ bản của phương trình vật lí - toán a. Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền sóng Một phương trình truyền sóng là một phương trình dạng hyperbolic. Phương trình truyền sóng dạng chính tắc là d2u x y z t 2 dt2 d2u ổ2u ổ2u 2 2 V ổx ỡy dz J Í x y z Giả sử ta cần xác định hàm u x y z t trong miền V và t 0. V được giới hạn bằng mặt biên kín và trơn S với các điều kiện đầu u x y z t t 0 uo x y z ỡu dt t 0 u o x y z và điều kiện biên 150 u x y z t l . - u1 x y z X 7 J 7 -7 - x y z eS 1 v J J J 7 Bài toán giải phương trình trên với các điều kiện đầu và điều kiện biên được gọi là bài toán hỗn hợp của phương trình truyền sóng. Nếu ta xét bài toán trong miền cách xa các biên mà ở đó điều kiện biên không có tác dụng thì ta gặp bài toán Cauchy với điều kiện đầu và xét trong toàn bộ không gian. b. Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt. Cho phương trình truyền nhiệt dưới dạng chính tắc du x y z t 2 ổ2u ổ2u ổ2u a . dx2 ã ãZ
