Đề thi môn Toán cao cấp A2 năm học 2014-2015 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM gồm 3 bài tập khái quát chương trình môn học Toán cao cấp A2, giúp người học ôn tập và củng cố kiến thức, chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. . | ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN CAO CẤP A2 Mã môn học: 1001012 Ngày thi: 16/01/2015 ĐỀ Câu I (3,5đ) 3 1. Trong không gian vectơ , chứng minh tập M x , x , x : x 2x 1 2 3 1 2 x3 0 là một không gian con, tìm một cơ sở và số chiều của M . 2 x y mz m 2. Giải và biện luận hệ phƣơng trình sau theo tham số m: x my 3z 0 . 2 x m 1 y 1 Câu II (4đ) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 xác định nhƣ sau: f x; y; z y z; x y , B u1 1;1;1 , u2 1;1;0 , u3 1;0;0 là một cơ sở của không gian vectơ 3 và tập E v1 1;0 , v2 1;1 . 1. Chứng minh E là một cơ sở của không gian vectơ 2 . 2. Tìm ma trận của f đối với các cơ sở B, E . 3. Tìm một cơ sở và số chiều của Kerf . 4. Tìm một vectơ u 3 2 . 1 sao cho toạ độ của vectơ f u đối với cơ sở E là Câu III (2,5đ) Cho dạng toàn phƣơng f x1 , x2 , x3 2 x12 2 x1x3 2 x2 2 2 x2 x3 3x32 . 1. Đƣa dạng toàn phƣơng f x1 , x2 , x3 về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. 2. Tìm hạng và xét dấu dạng toàn phƣơng trên. ĐÁP ÁN Câu Nội dung Với mọi u x1 , x2 , x3 , v y1 , y2 , y3 M , , ta có: Điểm 0,5 + u v x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 . Do x1 y1 2 x2 y2 x3 y3 x1 2x2 x3 y1 2 y2 y3 0 nên u v M . + Với mọi u x1 , x2 , x3 M , với mọi R 0,5 u x1 , x2 , x3 . Do x1 2 x2 x3 x1 2x2 x3 0 1 nên u M . 3 Vậy M là một không gian con của . x1 2a b x1 2 x2 x3 0 x2 a a, b x b 3 I Một cơ sở của M: 0,25 . 2,1,0 , 1,0,1 dim M 2 . D m2 7m, D1 2m2 3m 3, D2 5m 6, D3 m2 3m 1 0,25 1 0,25 1 0 1 0, 1 1 1 0,5 m 7 , D2 29 0 nên hệ phƣơng trình vô nghiệm. 2 m 0 m 7 , hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất 2m2 3m 3 5m 6 m2 3m 1 . x ,y 2 ,z m2
