Tham khảo tài liệu 'các bài toán về vành đa thức', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 29 tháng 4 năm 2005 Bài 15. Các Bài Toán Về Vành Đa Thức Lý thuyết các vành đa thức cũng như các dạng toán liên quan tới chúng là rất phong phú và đa dạng. Tuy nhiên trong giới hạn của chương trình chúng ta chỉ quan tâm chủ yếu tới các dạng toán của vành đa thức liên quan tới các khái niệm cơ bản của lý thuyết vành. Rải rác đây đó trong các mục khác nhau của chuyên đề ôn tập này ta đã có một số ví dụ về chúng. Phần còn lại này chúng ta để ý nhiều hơn tới các dạng toán liên quan tới lý thuyết chia hết trong vành đa thức những vấn đề về đa thức bất khả qui đa thức nguyên tố cùng nhau . liên quan với nghiệm của đa thức. Xin nhắc lại rằng riêng đối với một vành đa thức trên một trường K K x luôn luôn là một vành Ơclít. Và vì vậy khi xử lý các bài tập trong vành đa thức các kết quả tính chất của vành Ơclit và do đó cả của vành chính thường được áp dụng khá hiệu quả. Ta cũng không quên nhắc tới một kết quả cũng rất hay được sử dụng trong vành đa thức thường được biết dưới cái tên định lý Bezout đó là vành đa thức f x chia hết cho đa thức bậc nhất g x khi và chỉkhi nghiệm của g x là nghiệm của f x . Hơn nữa khi xử lý các bài toán trong các vành đa thức cụ thể ta cũng cần tới các tri thức cụ thể của các vành đó đặc biệt là với các vành đa thức trên các trường số C x R x Q x mà việc hệ thống lại xin phép được dành cho độc giả. Ví dụ 1 Cho g x f x G C x là các đa thức khác 0. Chứng minh rằng f x g x là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng không có nghiệm chung nào. GIẢI Nếu f x g x không nguyên tố cùng nhau ắt tồn tại h x với deg h 1 sao cho f x g x h x . Theo định lý cơ bản của đại số do deg h 1 nên h x có ít nhất một nghiệm phức xo. Hiển nhiên x0 là nghiệm chung của cả f x và g x . Ngược lại nếu f x và g x có chung nghiệm x0. Theo định lý Bezout cả f x và g x có chứa chung nhân tử x x0 nên f x g x 1. Vậy f x g x 1 o f x g x không có nghiệm chung 1 Ví dụ 2 Cho các trường K c F và đa
