Tham khảo tài liệu 'giải bài tập về ánh xạ tuyến tính', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 17. Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh xạ f Rn R chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại các số ai a2 . an E R để f xi x2 . xn aixi a2x2 . anxn b. Cho ánh xạ f Rn Rm. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại các số a ịj E R để f xi X2 . Xn aiiXi ai2X2 . ainXn . amiXi am2X2 . amnxn Giải. Ta chỉ giải câu b. câu a. là trường hợp đặc biệt của câu b. khi m 1. Kiểm tra trực tiếp ta thấy ngay rằng nếu f có dạng như thì f là ánh xạ tuyến tính. Ngược lại nếu f là ánh xạ tuyến tính ta đặt f ei aii a2i . . . ami với i 1 2 . n trong đó 6ị 0 . 0 1 0 . 0 . Khi đó ta có f xi X2 . Xn f xiei X2C2 . xraera Xif ei X2f e2 . Xnf en f iiXi ai2X2 . ainXn . amiXi am2X2 . amnxn 2. Tìm công thức của ánh xạ tuyến tính f R3 R3 biết a. f 1 1 2 1 0 0 f 2 1 1 0 1 1 f 2 2 3 0 -1 0 . b. f 1 2 3 1 0 1 f -1 1 1 0 1 0 f 1 3 4 1 0 2 . Giải. a. Giả sử Xi X2 X3 ai 1 1 2 a2 2 1 1 3 2 2 3 1 Khi đó f xi X2 X3 ai 1 0 0 a2 0 1 1 a3 0 1 0 i 2 a3 a2 2 Do đó để tính f xi x2 x3 ta cần tính ai a2 a3 qua xi x2 x3. Do công thức 1 ai a2 a3 là nghiệm của hệ 122 xi 122 xi 112 X2 0 1 0 Xi X2 213 X3 _ _ 0 3 1 2xi X3 1 2 2 xi 0 1 0 Xi X2 0 0 1 Xi 3x2 X 1 Vậy a3 x1 3x2 - x3 a2 x1 - x2 a1 x1 2a2 2a3 x1 2 x1 x2 2 x1 3x2 x3 x1 4x2 2x3 Thay vào 2 công thức của ánh xạ f là f x1 x2 x3 x1 - 4x2 2x3 2x1 - 4x2 x3 x1 - x2 b. Giải tương tự câu a. chi tiết xin dành cho bạn đọc. 3. Trong R3 cho 2 cơ sở U1 1 0 0 U2 0 1 1 U3 1 0 1 u v1 1 -1 0 v2 0 1 -1 v3 1 0 1 v và cho ánh xạ tuyến tính f R3 y R3 f ui v . a. Tìm công thức của f. b. Tìm các ma trận Af u Af u v Af v Af v u Af 3 Giải. a. Giả sử x x2 x3 a1U1 a2U2 a3U3 1 Khi đó f x1 x2 x3 f a1U1 a2U2 a3U3 a1 f u1 a2f u2 af U3 a1 1 1 0 a2 0 1 1 a3 1 0 1 ữ1 a3 ữ1 a2 a2 a3 Vậy f xb x2 3 o1 a3 -ữ1 a2 -a2 a3 2 Ta cần tính a1 a2 a3 theo x1 x2 x3 do 1 a1 a2 a3 là nghiệm của hệ 101 x1 101 x1 010 x2 y 010 x2 011 x3 _ 001 x2 x3 do đó a3 x2 x3 a2 x2 a1 x1 a3 .
