Tham khảo tài liệu 'không gian vecto euclide', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 18. Không gian vectơ Euclide PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1 Các khái niệm cơ bản Tích vô hướng và không gian vectơ Euclide Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ V X V R a ß a ß thỏa các điều kiện sau với mọi a a1 a2 E V ß E V với mọi a E R i a1 a2 ß a1 ß a2 ß ii aa ß a a ß iii a ß ß a iv a a 0 a a 0 khi và chỉ khi a 0. Chú ý rằng do tính chất i ii . Khi cố định vectơ ß E V tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ nhất. Do tính chất đối xứng giao hoán iii ta dễ dàng suy ra khi cố định a E V thì tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ 2 tức là a ß ß1 ß2 E V a E R ta có i a ßi ß2 a ßi a ß2 ii a aß a a ß Định nghĩa Không gian vectơ trên R trong đó có thêm một tích vô hướng được gọi là không gian vectơ Euclide. Chú ý Từ tính chất tuyến tính của tích vô hướng theo từng biến tính chất i ii i ii ta dễ dàng có các công thức sau 0 QỘ a 0 0 với mọi a E V. 1 Giả sử a aiai ß bjßj thì i 1 j 1 a ß 02 i i L bj ßj aibj 52 a ßj i 1 j 1 i 1 j 1 Các ví dụ 1. Cho V Rn Va x1 . xn ß y1 . yn E V ta định nghĩa a ß x1y1 ----- xnyn o xiyi i 1 Đây là một tích vô hướng trên Rn và Rn là một không gian vectơ Euclide. 2. Cho V C a b là không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên a b . Với mọi f x g x thuộc C a b ta định nghĩa f x g x Ị f x g x dx Đây là một tích vô hướng trên C a b và C a b là một không gian vectơ Euclide. Độ dài và góc 1. Định nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. Với mỗi vectơ a E E độ dài của vectơ a ký hiệu là a là số thực không âm xác định như sau llxll ự x x 2. Các ví dụ a E Rn x x1 . xn E Rn thì x Ựx2 xn b E C a b f x E C a b thìHf x Ị f x 2dx 3. Một vài tính chất cơ bản Trong không gian vectơ Euclide E ta có a 0 O a 0 và a E R aa a . a Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Va ß E E a ß é a . ßII Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a ß phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh Nếu ß 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu ß 0 thì .
