Bài giảng Giải tích: Chương 3 Hàm khả vi của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Khái niệm, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng. ! | 01/10/2017 Chương 3: Hàm khả vi §1. Khái niệm GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Đạo hàm cấp cao §3. Công thức Taylor LOG O §4. Ứng dụng I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa . Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y ( x0 ) f ( x0 ) , được tính bởi f ( x0 ) lim x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0 2 Trong định nghĩa trên, nếu đặt x x x0 : Số gia của biến số tại x0. y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0. Khi đó f ( x0 ) lim x 0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý . Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 3 Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số tại x0 0. ln(1 x 2 ) khi x 0 f ( x) x 0 khi x 0 Định nghĩa (Đạo hàm bên trái) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0 y f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x x f ( x0 h) f ( x0 ) lim h 0 h 4 Định lý f ( x0 ) L f ( x0 ) f ( x0 ) L Ví dụ : Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số f ( x) x tại x0 0. Định lý . f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Định nghĩa (Đạo hàm bên phải) f ( x0 ) lim x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0 5 6 1 01/10/2017 Ví dụ : Tìm m để hàm số e ( x x ) khi x 0 f ( x) khi x 0 m x 2 khả vi tại x0 0. II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: . Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. . Quy tắc tính đạo hàm: Với u u ( x ), v v ( x) , ta có ( k .u ) k .u (u v) u v () u .v Ví dụ : Tìm a, b để hàm số 3x 2 5 khi x 1 f ( x) ax b khi x 1 có đạo hàm tại x0 1. 7 u u .v v2 v . Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó x y ( x) yu .u 8 Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y arctan x 2 b) y (arcsin x ) 1 x c) y 1 x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là d) y e arctan e ln 1 e x e) y ( x 2 1) x III. Vi phân cấp .
