Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương. Những nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận; giá trị riêng, vector riêng của ma trận vuông, chéo hóa ma trận vuông, dạng toàn phương. Mời tham khảo. | Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 19 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau 1 f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn 3 f (α1 u1 + · · · + αk uk ) = α1 f (u1 ) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn , ∀αi ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ) Đặt a11 . A= . . . . . . a1n . . . am1 . . . amn A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = Au T Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa giá trị riêng của ma trận Cho ma trận vuông cấp n a11 . . . a1n . . . . . A= . . . . an1 . . . ann Cho λ là 1 biến số. Ma trận a11 − λ . . . a1n . . . . . A − λIn = . . . . an1 . . . ann λ được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn | là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn ) bằng (−1)n . Hệ số của λn−1 bằng (−1)n−1 trace(A) = (−1)n−1 (a11 + · · · + ann ) Hệ số tự do χ(0) = |A| Tiến sĩ .
