Bài 3 trình bày về "Ma trận và hệ phương trình tuyến tính". Nội dung cụ thể của chương này gồm có: Hệ phương trình tuyến tính, hệ dạng tam giác trên và cách giải, một số định lí về nghiệm, lời giải bằng số của hệ phương trình tuyến tính ax = b,. | BÀI 3 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (1) 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH gồm m phương trình n ẩn là một hệ có dạng Nếu đặt . a1n x n b1 a11x1 a12 x 2 a x a x . a 2n x n b 2 21 1 22 2 a m1x1 a m 2 x 2 . a mm x n b m a 1j b1 x1 a 11 a 12 a b x a 2j 2 , x 2 và A 21 a 22 vj , (j 1,2,.,n), b . . . a mj a m1 a m2 b m x n . a 1n . a 2n , . . . a mn thì hệ trên còn có thể viết ở dạng vectơ cột x1v1 +x2v2 + + xnvn = b hay dạng phương trình ma trận Ax = b PHƯƠNG PHÁP SỐ-Bài 3 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (2) 2. HỆ DẠNG TAM GIÁC TRÊN VÀ CÁCH GIẢI Hệ dạng tam giác trên là hệ có dạng trong đó a11, a22, ,ann ≠ 0 Cách giải: giải ngược từ dưới lên a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a22x2 + + a2nxn = b2 annxn = bn void heTGiac(vector > a, vector &x) { unsigned n = (); vector y(n, 0); // y co n phan tu 0 y[n-1] = a[n-1][n]/a[n-1][n-1]; for (int i = n-2; i >= 0; i--) { double tong = 0.; for(unsigned j = i+1; j <= n-1; j++) tong = tong + a[i][j] * y[j]; y[i] = (a[i][n] - tong) / a[i][i]; } x = y; } PHƯƠNG PHÁP SỐ-Bài 3 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (3) 3. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ NGHIỆM Định lí : Hệ Ax = b có nhiều nhất một nghiệm (tức là, nghiệm là duy nhất nếu tồn tại ) nếu và chỉ nếu hệ thuần nhất tương ứng Ax = 0 chỉ có nghiệm “tầm thường” x= 0. Định lí : Bất kì hệ PTTT thuần nhất nào với số phương trình ít hơn số ẩn đều có nghiệm không tầm thường (khác 0) Định lí Nếu A là một ma trận cấp m × n và hệ Ax = b có nghiệm với mọi vectơ m chiều b, thì m ≤ n Định lí Cho A là ma trận cấp n × n. Các khẳng định sau đây là tương đương: (i) Hệ thuần nhất Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường x = 0. (ii) Với mọi vế phải b, hệ Ax = b luôn có nghiệm. (iii) A là ma trận khả nghịch PHƯƠNG PHÁP SỐ-Bài 3 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (4) 4.
