Bài giảng Phương pháp số: Bài 4 cung cấp cho người học các kiến thức: Sự duy nhất của đa thức nội suy, đa thức nội suy newton với mốc cách đều, đa thức nội suy newton, các đa thức ghép trơn,.! | BÀI 4 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC VÀ LÀM KHỚP DỮ LIỆU 14 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC (1) BÀI TOÁN NỘI SUY: Cho x0, x1, , xn là n + 1 điểm phân biệt trên trục số thực và f(x) là hàm nhận giá trị thực, xác định trên khoảng I = [a, b] chứa các điểm này. Hãy xây dựng một đa thức pn(x) có bậc ≤ n mà tại các điểm x0, x1, , xn pn(xi) = f(xi) i = 0, , n SỰ TỒN TẠI ĐA THỨC NỘI SUY: (Đa thức nội suy Lagrange) Cho hàm f(x) nhận giá trị thực và n + 1 điểm phân biệt x0, x1, , xn, khi đó tồn tại đúng một đa thức bậc ≤ n nôi suy f(x) tại x0, x1, , xn là pn(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + + anln(x) với ai = f(xi) và x xi lk (x) Π i 0 x k x i n i k PHƢƠNG PHÁP SỐ - Bài 4 2 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC (2) SỰ DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC NỘI SUY Bổ đề: Nếu z1, , zn là các nghiệm phân biệt của đa thức p(x) thì p(x) = (x – z1)(x – z2) (x – zn) r(x) với r(x) là một đa thức. Hệ quả: Nếu p(x) và q(x) là hai đa thức bậc ≤ k có giá trị trùng nhau ở k+1 điểm z0, , zk phân biêt, thì p(x) ≡ q(x) có nhiều nhất một đa thức bậc ≤ n nội suy f(x) ở n + 1 điểm phân biệt x0, x1, , xn Mặt khác, từ sự tồn tại của đa thức nội suy Lagrange có ít nhất một đa thức bậc ≤ n nội suy f(x) ở n + 1 điểm phân biệt x0, x1, , xn Kết luận: có đúng một đa thức bậc ≤ n nội suy f(x) ở n + 1 điểm phân biệt x0, x1, , xn PHƢƠNG PHÁP SỐ - Bài 4 3 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC (3) Ví dụ 1: trường hợp n = 1, nghĩa là cho biết hàm f(x) và hai điểm phân biệt x0, x1. Vậy ta có hai đa thức bậc nhất x x1 l0 (x) x 0 x1 x x0 l1 (x) x1 x 0 Trong ví dụ này, đa thức nội suy Lagrange là đa thức nội suy tuyến tính (n = 1) x x0 x x1 p n (x) f(x 0 )l 0 (x) f(x 1 )l 1 (x) f(x 0 ) f(x 1 ) x 0 x1 x1 x 0 f(x 0 )(x x 1 ) f(x 1 )(x x 0 ) f(x 1 ) f(x 0 ) f(x 0 ) (x x 0 ) x 0 x1 x1 x 0 Đây chính là PT đƣờng thẳng đi qua 2 điểm (x0, y0) và (x1, y1) PHƢƠNG PHÁP SỐ - Bài 4 4 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC (4) Ví dụ 2: Từ bảng các giá trị của tích phân sau, tính giá trị
