Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 do ThS. Nguyễn Thị Vinh biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Phương trình vi phân (phương trình vi phân) cấp n, nghiệm của phương trình vi phân cấp n, nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp n,. | BÀI 6 NGHIỆM CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (1) 1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN (PTVP) CẤP n y(n)(x) = f(x, y(x), y´(x) , , y(n–1)(x)) 2. NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n: Nghiệm của PTVP cấp n là một hàm Φ(x) khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đang xét và Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), , Φ(n-1)(x)) Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n thƣờng chứa n hằng số tùy ý, và do vậy tồn tại một họ n tham số của các nghiệm Nghiệm của bài toán giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ nghiệm tổng quát của PTVP sao cho nó thỏa mãn n giá trị đầu đã biết y(x0), y’(x0), , y(n–1)(x0) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (2) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP là tuyến tính cấp n y(n)(x) + p1(x)y(n–1)(x) + + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x) • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (khi vế phải q(x) = 0) i> Nếu y1(x), y2(x), . . . , ym(x) là các nghiệm bất kì của PTVP tuyến tính thuần nhất thì tổ hợp tuyến tính của chúng C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) cũng là một nghiệm Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), . . . , ym(x) này đƣợc gọi là độc lập tuyến tính nếu định thức hàm ( . y1m 1) y1 y2 . y '2 . . y ( m 1) 2 0 . . ym PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 ' y1 y 'm . y ( m 1) m 3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (3) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (tiếp) iii> Nếu y1(x), y2(x), . . . , yn(x) là n nghiệm độc lập tuyến tính của PTVP thuần nhất cấp n, thì tổ hợp tuyến tính của chúng Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x) đƣợc gọi là nghiệm tổng quát. • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng y(n) + an–1y(n–1) + · · · + a0y = 0 (*) có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính βn + an–1βn–1 + · · · + a0 = 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 (**) 4 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (4) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng: - Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi thì Y(x) C1eβ1x C2 eβ2x . Cn e βn x là nghiệm tổng quát của của PTVP thuần nhất cấp n (*) - Nếu
