Bài báo mở rộng một số tính chất của các phép toán: tổng, tích và giao qua phép lấy căn. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết. | TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG CỦA CĂN IĐÊAN Lê Quang Huy1, Hoàng Thị Minh Nhàn2 TÓM TẮT Bài báo mở rộng một số tính chất của các phép toán: tổng, tích và giao qua phép lấy căn. Từ khóa: Vành, iđêan, căn của iđêan. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong bài báo này, ta luôn giả thiết (R, +, .) là vành giao hoán, có đơn vị và I là một iđêan của R. Bổ đề và định nghĩa . Cho I là một iđêan của vành R. Kí hiệu: √ = { ∈ | ∃ ∈ : iđêan I. Chứng minh. ∈ }. Khi đó √ là một iđêan của R và iđêan này gọi là căn của i) Ta có 0 ∈ √ nên √ ≠ ∅. ii) Lấy , ta có ( − ) ∈ √ , tồn tại , sao cho ∈ và b ∈ I. Chọn = − 1, ∈ , suy ra a - b ∈ √ . iii) Với mọi ∈ √ và ∈ . Do ∈ √ nên tồn tại n sao cho ) = ∈ (vì ∈ ), nghĩa là ax ∈ √ . ( + ∈ . Suy ra Vậy √ là một iđêan của vành R. Iđêan √ là một iđêan được xây dựng từ iđêan I, khái niệm và một số tính chất của nó được trình bày trong [1], [2], [3] và [4]. Căn của iđêan có nhiều ứng dụng trong đại số giao hoán, do đó vấn đề tự nhiên được nhiều người quan tâm là mối quan hệ giữa I và √ ra sao và phép lấy căn có thể bảo toàn qua những phép toán nào? Trong [2] và [4] đã giới thiệu và đưa một số tính chất của iđêan căn về các vấn đề này, tuy nhiên chưa hệ thống và chưa đầy đủ. Trong bài báo này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết khái niệm và tính chất về mối quan hệ giữa I và √ và mở rộng phép lấy căn qua phép tính tổng, tích và giao của một họ các iđêan cho trước. 2. QUAN HỆ GIỮA I VÀ √ Bổ đề . Cho J là iđêan của R sao cho J I . Khi đó J I . Chứng minh. Với mọi ∈ J, ta lấy = 1, khi đó ∈ J . Suy ra ∈ √ . Do vậy ∈ √ . 1 2 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Sinh viên Đại học Sư phạm Toán K17A, khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 88 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ Hệ quả . I I .
