Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình parabolic không địa phương với số hạng khuếch tán phụ thuộc vào chuẩn L của gradient. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục nhận được nhờ phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin. | TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Lê Trần Tình1, Mai Xuân Thảo2, Nguyễn Thị Sâm3 TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình parabolic không địa phương với số hạng khuếch tán phụ thuộc vào chuẩn L2 của gradient. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục nhận được nhờ phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin. Chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục trong các cặp không gian. Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định mũ của nghiệm dừng. Từ khóa: Phương trình parabolic không địa phương, nghiệm yếu, tập hút toàn cục. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong những năm qua, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua nghiên cứu tập hút toàn cục nhận được sự quan tâm mạnh mẽ của nhiều tác giả đối với nhiều loại phương trình đạo hàm riêng [2, 10, 13, 15], đặc biệt, các phương trình parabolic liên kết với toán tử ( , H 01 ( )) [2, 6, 7, 10, 13]. Những năm gần đây, phương trình parabolic không địa phương đã được nghiên cứu rộng rãi. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình parabolic phi tuyến với phần tử khuếch tán không địa phương ut div( a(‖u‖2H 1 ( ) ) u ) f (u ) g ( x ), x , t 0, 0 x , t 0, u ( x, t ) 0, u ( x, 0) u ( x ), x . 0 () Trong đó n là một tập mở, bị chặn với biên liên tục Lipschitz, hàm phi tuyến f , hệ số khuyếch tán a và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau: ( u‖2H 1 ( ) ) thỏa ( H1) a C ( , ) phụ thuộc vào chuẩn H 01 của u nghĩa là a a ‖ 0 mãn điều kiện: i ) a là hàm bị chặn, tức là tồn tại hai hằng số dương m và M sao cho: 0 m a (t ) M , t . ii ) s a ( s ) s không giảm. 2 () () ( H2) f : là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn: 1,2,3 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 155 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ .
