Hàm ngẫu nhiên dạng đa thức Hermite đã được đề cập đến trong các tài liệu của [3], [4], Oksendan [2] . . . Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có những ứng dụng quan trọng. Ta bắt đầu từ những khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đó là vi và tích phân Itô của các quá trình ngẫu nhiên. | TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 11, SOÁ 06 - 2008 TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE Dương Tôn Đảm Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG – HCM 1. MỞ ĐẦU Hàm ngẫu nhiên dạng đa thức Hermite đã được đề cập đến trong các tài liệu của [3], [4], Oksendan [2] . . . Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có những ứng dụng quan trọng. Ta bắt đầu từ những khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đó là vi và tích phân Itô của các quá trình ngẫu nhiên. NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE Nghĩa Đa Thức Hermite bậc n là đa thức xác định bởi x2 d n x2 (−t ) n exp n exp− H n ( x, t ) = n! 2t dx 2t n = 0,1,2,. () -Theo định nghĩa trên ta có: x2 t H 0 ( x, t ) = 1; H1 ( x, t ) = x; H 2 ( x, t ) = − 2 2 3 4 2 x tx x tx t 2 H 3 ( x, t ) = − ; H 4 ( x, t ) = − + ; . 6 2 24 4 8 Nghĩa Cho Wt là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều (chuyển động Brown), khi đó quá trình ngẫu nhiên: H n (Wt , t ) xác định theo () , được gọi là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. H 3 (Wt , t ) = Wt 3 tWt − 6 2 Ví dụ: Khái niệm vi, tích phân ngẫu nhiên mà ta xét trong bài này là vi, tích phân Itô, nghĩa là nếu hầu chắc chắn ta có t t 0 0 X t = X 0 + ∫ α ( s, ω )ds + ∫ β ( s, ω ) dWt , khi đó ta viết dX t = α (t , ω )dt + β (t , ω )dWt Biểu thức () được gọi là vi phân Itô của của Xt . lý (Công thức Itô) () X t , hay ta còn gọi đơn giản là vi phân ngẫu nhiên Science & Technology Development, Vol 11, - 2008 ϕ ( x, t ) : R 2 → R X Cho t là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng () và là một hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất x , một lần khả vi liên tục theo biến thứ hai t . Khi ϕ ( X ,t ) t đó quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên tính bởi công thức: ∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ dϕ ( X t,t ) = ( X t ,t )dt + ( X t ,t )dX t + ( X t , t ) β 2 (t ,ω ) d t ∂t ∂x 2 ∂x 2 () Công thức () được gọi là
