Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân, đạo hàm của hàm số hợp, công thức Leibniz, chiều biến thiên của hàm số, điều kiện cần của cực trị,. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. chi tiết nội dung tài liệu. | C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0 (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) cũng có đạo hàm tại x và ()’ = u’v + v’u 3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x) 0 và Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (c: hằng số) (x )’ = x -1 ( R, x > 0) (ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1) (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có . | C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0 (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Hàm số và giới hạn hàm số C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) cũng có đạo hàm tại x và ()’ = u’v + v’u 3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x) 0 và Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x,
