Đề thi học kì 2 lớp 11 năm 2008–2009 môn Toán - Trường Phổ Thông Năng Khiếu dành cho các bạn học sinh lớp 11 giúp các em ôn tập lại kiến thức đã học và đồng thời giáo viên cũng có thêm tư liệu tham khảo trong việc ra đề thi. | ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM Trường Phổ Thông Năng Khiếu ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN Lớp 11. Thời gian: 90 phút (Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D) Câu 1. a)Tính lim x→2 x2 − 5x + 6 x 2 + 6 x − 16 b) Tính lim ( x + 2 ) x →−∞ 4x + 1 ( x − 1) ( x 2 + 2 x ) Câu 2. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = M ( xM ; −4 ) 3x − 1 . Viết phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại x+2 cos x x2 + 2 b) Chứng minh phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD , ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABS đều có tâm I , Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số y = 3 x + 1 − AC ⊥ BC , AC = BC = a 2 . a) Chứng minh SI ⊥ ( ABC ) và tam giác ASC cân. b) Chứng minh IS = IA = IB = IC . Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB d) Tính góc tạo bởi ( SAC ) và ( ABC ) Hướng dẫn giải Câu 1. a) Ta có lim x→2 ( x − 2 )( x − 3) = lim x − 3 = 2 − 3 = − 1 x2 − 5x + 6 = lim 2 x + 6 x − 16 x→2 ( x − 2 )( x + 8 ) x→2 x + 8 2 + 8 10 b) Ta có lim ( x + 2 ) x →−∞ 4x + 1 = lim − ( x − 1) ( x 2 + 2 x ) x→−∞ ( x + 2 ) ( 4 x + 1) = ( x − 1) x ( x + 2 ) 2 1⎞ 1⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ ⎛ 2 ⎞⎛ x 2 ⎜1 + ⎟⎜ 4 + ⎟ 1 + ⎟⎜ 4 + ⎟ ⎜ ( x + 2 )( 4 x + 1) = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = −2 = lim − x →−∞ x →−∞ x →−∞ x ( x − 1) ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ x 2 ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 3x − 1 Câu 2. y = x+2 Nguyễn Tăng Vũ 1 Ta có y′ = 3 ( x + 2 ) − ( 3 x − 1) ( x + 2) 2 = 7 ( x + 2) Ta có M ( xM ; −4 ) ∈ ( C ) ⇒ −4 = Ta có y′ ( −1) = 7 ( −1 + 2 ) 2 2 3 xM − 1 ⇒ xM = −1 xM + 2 = 7. Vậy phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại M ( −1; −4 ) là: y = 7 ( x + 1) − 4 hay y = 7 x + 3 Câu 3. a) y = 3 x + 1 − cos x x2 + 2 ( − sin x ) ( x 2 + 2 ) − 2 x cos x 3 3 x 2 sin x + 2 x cos x + 2sin x − = + Ta có y′ = 2 2 2 3x + 1 2 3x + 1 ( x2 + 2) ( x2 + 2) b) f ( x ) = x 3 − 5 x + 1 . Ta có f là hàm số liên tục trên \ Ta có f (1) = −3 và f ( 3) = 13 Ta có f (1) .
