Gửi đến các bạn Đề thi Olympic lớp 11 năm 2011-2012 môn Toán - Trường THPT Ba Đình giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. tài liệu. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu 1 (7 điểm): a) Giải phương trình lượng giác: 3 2(sin 4 x cos 4 x) tan x cot x b) Tính các giới hạn sau: n3 2n A lim , 3n 3( x 2 2 x 3) 3 3 x 3 x 1 B lim . x 0 x2 Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số (un ), n * xác định bởi: u1 1, u 2 2 và un 2 2un 1 un 2012 với tham số a R . a) Khi a 0 . Xét dãy số (vn ) với vn un 1 un , n N * . Chứng minh rằng dãy số (vn ) là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) . Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox, Oy , Oz sao cho: 1 1 1 k với k là một hằng số dương. OA2 OB 2 OC 2 a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi. b) Chứng minh rằng: S 2ABC S 2OAB S 2OBC S 2OCA trong đó S ABC , S OAB , S OBC , S OCA lần lượt là diện tích các tam giác ABC , OAB, OBC , OCA . c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi , , lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng: cos 2 cos 2 cos2 3 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 4 Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số an với n N * , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau: a1 2 , an 1 ( n 1)an 1 , n N * . Với mỗi n N * , xét an 1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong an 1 điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong an 1 điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu. --------------- HẾT --------------- Họ và tên Thí sinh: .
