Gửi đến các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm 2012-2013 môn Toán - Sở GD&DT Quảng Bình giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. tài liệu. | SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) 2 x x + + = 10 y y . a) Giải hệ phương trình: 1 2 x + + 2x = 12 y2 b) Giải phương trình: (cos 2x − cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x. Câu II (2,5 điểm) √ √ n4 + n2 + 1 − 3 n6 + 1 . u1 = 2013 r b) Cho dãy số (un ) thỏa mãn n+1 un+1 = unn + a) Tính giới hạn: lim 1 2013n . Tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số. Câu III (2,5 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình thang cân (AD||BC) và BC = 2a, AB = AD = CD = a. Gọi O là giao điểm AC và BD. Mặt bên SBC là tam giác đều. Biết SD vuông góc AC. a) Tính độ dài đoạn thẳng SD. b) Mặt phẳng (α) đi qua M thuộc đoạn OD song song SD và AC. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi (α). Biết M D = x, tìm x để diện tích lớn nhất. Câu IV (2,0 điểm) Cho phương trình : x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0. a) Với d = −2013, chứng minh phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt. 4 b) Với d = 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ . 3 ——— Hết ——— 1 LỜI GIẢI CHI TIẾT Giáo viên biên soạn: NGUYỄN MINH HIẾU Câu I (3,0 điểm) 1 1 x + 1 + + (x + 1) = 11 y y a) Hệ đã cho tương đương với . 1 (x + 1)2 + = 13 y2 ( ( u + v + uv = 11 2(u + v) + 2uv = 22 (1) 1 Đặt x + 1 = u; = v, hệ trở thành ⇔ . 2 2 y u + v = 13 (u + v)2 − 2uv = 13 (2) u+v =5 2 Cộng theo vế (1) và (2) ta có (u + v) + 2(u + v) = 35 ⇔ . u + v = −7 Với u + v = −7 ⇒ uv = 18 (vô nghiệm). ( x=2 u=3 1 y= v = 2 2 . Với u + v = 5 ⇒ uv = 6 ⇒ ⇒ ( x=1 u=2 1 v=3 y= 3 1 1 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = 2; ; (x; y) = 1; . 2 3 b) Phương trình đã cho tương đương với 4 sin2 x sin2 3x = 6 + 2 sin 3x. Ta có 4 sin2 x sin2 3x ≤ 4 và 6 + 2 sin 3x ≥ 4, do đó phương trình tương đương với hệ 2 π ( sin x = 1 x = + kπ cos x = 0 π 2 ⇔ ⇔ x = + k2π ⇔ sin2 3x = 1 π 2π 2 sin 3x = −1 x=− +k sin 3x = −1 6 3 Vậy phương trình có nghiệm x = π + k2π
