Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng đắn của các phương pháp đã đưa ra. | PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI ĐIỂM BIÊN KỲ DỊ Vũ Vinh Quang* – Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên Ngô Thị Kim Quy – Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng đắn của các phương pháp đã đưa ra. Từ khóa: phương pháp chia miền, sơ đồ lặp, bài toán Motz, bài toán biên hỗn hợp mạnh, điểm kì dị. 1. Cơ sở của phương pháp 2 Cho R là miền Lipschitz , xét bài toán: với u(x ) f (x ), x , lu(x ) g(x ), x . biên Giả sử miền được mô tả bởi Hình 1, xét bài toán u(x ) f (x ), x , u(x ) (x ), x n , u(x ) (x ) x \ n . (1) (2) 1 Giả thiết f (x ) L2 ( ), g(x ) H 2 ( ) . Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên lu ( x) g ( x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet ( l là toán tử hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Khi đó điểm giao giữa hai loại điều kiện biên được gọi là điểm kì dị. Đây là bài toán đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm như Saito, Fuijtu, Funaro, Quarteroni,. Để giải quyết bài toán trên, có nhiều phương pháp đã được đưa ra của các tác giả trên thế giới, một trong các phương pháp đó là sử dụng phương pháp khai triển các hàm cơ sở xung quanh lân cận điểm kì dị từ đó xác định nghiệm bằng chuỗi hàm xấp xỉ qua các hàm cơ sở. Các hệ số của chuỗi được xác định thông qua điều kiện cực trị của một phiếm hàm. Các kết quả trên đã được đưa ra trong [2, 3, 5]. Trong phần này, khác với các phương pháp của các tác giả trên thế giới, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp chia miền
