Nội dung bài viết là về sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của một bài toán biên cho phương trình Elliptic biến trong R3. Mời các bạn tham khảo! | T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(48) Tập 1/N¨m 2008 To¸n, Thèng kª – KH m¸y tÝnh – KH tù nhiªn VÒ Sù KH¤NG TåN T¹I NGHIÖM KH¤NG TÇM TH¦êNG CñA MéT BµI TO¸N BI£N CHO PH¦¥NG TR×NH ELLIPTIC SUY BIÕN TRONG R3 Ph¹m ThÞ Thuû (Tr−êng §H S− ph¹m - §H Th¸i Nguyªn) 1. Më ®Çu Trong [4] Pohozaev nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm kh«ng tÇm th−êng cña bµi to¸n: ∆u + uP = 0 trong Ω u|∂Ω = 0 u > 0 trong Ω, ë ®©y Ω lµ miÒn giíi néi trong Rn víi biªn tr¬n. ë ®ã t¸c gi¶ ®M chøng minh ®−îc lµ nÕu p > n + 2 n − 2 (n ≥ 3) vµ Ω lµ h×nh sao th× bµi to¸n trªn kh«ng cã nghiÖm. Trong [1], [2] . TrÝ ®M më réng c¸c kÕt qu¶ cña Pohozaev cho 1 líp c¸c ph−¬ng tr×nh elliptic suy biÕn. Cô thÓ xÐt bµi to¸n sau: ∂ 2u ∂ 2u + x 2k + u P = 0 trong Ω 2 2 ∂x ∂y u|∂Ω = 0 u > 0 trong Ω, ë ®©y Ω lµ miÒn giíi néi biªn tr¬n trong R2. T¸c gi¶ ®M thiÕt lËp ®−îc c¸c kÕt qu¶ sau: NÕu p > 4 + k vµ Ω lµ k - sao th× bµi to¸n kh«ng cã nghiÖm. k Trong bµi b¸o nµy chóng t«i nghiªn cøu bµi to¸n sau: Gi¶ sö Ω lµ miÒn giíi néi víi biªn ∂Ω tr¬n trong R3 2 2 2 Pu + g(u) = ∂ u2 + ∂ u2 + x 12 x 22 ∂ u2 + g (u ) = 0 trong Ω () u|∂Ω = 0 () ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 u g(0) = 0, g(u) ∈ C(R), G(u) = ∫ g (s)d (s) , v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) 0 lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ngoµi ®¬n vÞ trªn ∂Ω ®èi víi Ω §Çu tiªn chóng t«i thiÕt lËp ®−îc ®ång nhÊt thøc Pohozaev, sau ®ã dùa trªn ®ång nhÊt thøc nµy chóng t«i ®−a ra c¸c ®Þnh lÝ vÒ sù kh«ng tån t¹i nghiÖm kh«ng tÇm th−êng cña bµi to¸n. 2. C¸c kÕt qu¶ chÝnh §Þnh nghÜa: Ω ®−îc gäi lµ P- h×nh sao víi ®iÓm {0} nÕu bÊt ®¼ng thøc: 2 2 ( v1 + v2 + x12 x 22 v32 ) ( x1v1 + x 2 v2 + 3x 3 v3 ) > 0 tho¶ mMn hÇu kh¾p n¬i trªn biªn ∂Ω. Bæ ®Ò: Gäi u(x) lµ nghiÖm bµi to¸n () (), khi ®ã hµm u(x) tho¶ mMn hÖ thøc 3 ∫ (5G (u ) − 2 g(x ).u )dx dx 1 2 dx 3 Ω = 1 2 ∂u ∫∂Ω ∂ v Chøng minh. 92 2 (v 2 1 + v 22 + x 12 x 22 v 32 )(x v 1 1 + x 2 v 2 + 3x 3 v 3 ) ds () T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4(48) Tập 1/N¨m 2008 To¸n, Thèng kª – KH m¸y tÝnh – KH tù nhiªn Ta cã: ∂ ( x
