Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển

Mục đích của bài báo này là đưa ra công thức nghiệm dạng tường minh cho hệ động lực có điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân hoặc sai phân suy biến tuyến tính không dừng nhằm áp dụng vào nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được và quan sát được) của các hệ này. | T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN KHÔNG DỪNG CÓ ĐIỀU KHIỂN Vi Diệu Minh-Trần Thiện Toản (Trường ĐH Sư phạm- ĐH Thái Nguyên) Mục đích của bài báo này là đưa ra công thức nghiệm dạng tường minh cho hệ động lực có điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân hoặc sai phân suy biến tuyến tính không dừng nhằm áp dụng vào nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được và quan sát được) của các hệ này. 1. Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với ma trận lũy linh Xét phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng Nxɺ (t ) = x(t ) + B (t )u (t ) , t ≥ 0 , (1) trong đó N là ma trận vuông cấp n2 , không phụ thuộc vào t và là ma trận lũy linh bậc h , tức là N h = 0n2 với 0n2 là ma trận vuông cấp n2 có tất cả các thành phần bằng 0; x (t ) là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian ℝ n2 và thỏa mãn phương trình (1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình vi phân suy biến (1)); B(t ) là ma trận cấp n2 × m và u(t ) là vectơ hàm m chiều. Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau. Bổ đề 1. Giả sử B(t ) và u(t ) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N . Khi ấy với mọi 1 ≤ k ≤ h ta có k −1 N k x ( k ) (t ) = N k −1 x ( k −1) (t ) + N k −1 ∑ Cki −1 B ( k −1−i ) (t )u (i ) (t ) , i =0 (k ) trong đó x (t ) là đạo hàm cấp k của vectơ hàm x(t ) , tương tự, u (i )(t ) (2) là đạo hàm (s ) cấp i của vectơ hàm u(t ) , còn B (t ) là đạo hàm cấp s của ma trận B(t ) , C ki = k! với 0 ≤ i ≤ k . i !(k − i )! Chứng minh. Nhân phương trình (1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: N 2 ɺɺ x(t ) = Nxɺ (t ) + N ( Bɺ (t )u (t ) + B (t )uɺ (t ) ) . Lại tiếp tục nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: ɺɺ(t )u (t ) + Bɺ (t )uɺ (t ) + Bɺ (t )uɺ (t ) + B(t )uɺɺ(t ) ) N 3ɺɺɺ x (t ) = N 2 ɺɺ x(t ) + N 2 ( B 2 = N 2 ɺɺ x(t ) + N 2 ∑ C2i B (2−i ) (t )u (i ) (t ). i =0 Như vậy, .

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.